上篇 层级2 导学微点3 数列开放探究性问题（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

[对应学生用书P31] 《中国高考评价体系》指出，命制结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题，增强试题的开放性和探究性，引导学生打破常规，进行独立思考和判断，提出解决问题的方案，体现了高考试题的“应用性”，开放性和探究性问题在近几年的高考中多次考查． 类型1　结论开放型 　设数列{an}的前n项和为Sn，写出一个{an}的通项公式an＝________，使{an}满足以下条件：①{an}是递减数列；②{Sn}是递增数列． [解析]　由数列{Sn}是递增数列可知数列{an}从第二项起，各项都是大于零的，结合数列{an}为递减数列，考虑{an}为公比在0到1之间的等比数列，显然，an＝符合条件(答案不唯一). [答案]　(答案不唯一) [规律方法]　本题是结论开放题，结论不唯一，此类问题一般难度较小，解答此类问题应从基础问题思考． 　(2022·南京学情调研)将函数y＝cos x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象与y＝sin x的图象重合，则φ的一个可能的值为________．(写出一个正确答案即可) 解析　由题意可知，cos (x－φ)＝sin x， 又cos ＝sin x，所以可取φ＝. 答案　(答案不唯一) 类型2　条件开放型 　在①a2＋a3＝a5－b1，②a2·a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，若________，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＝nbn－bn＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [解]　(1)若选择①，解答过程如下： 由anbn＋1＝nbn－bn＋1，得a1b2＝b1－b2， 因为b1＝1，b2＝，所以a1＝2. 因为a2＋a3＝a5－b1，所以2a1＋3d＝a1＋4d－b1， 故d＝3，所以an＝3n－1. 若选择②，解答过程如下：由anbn＋1＝nbn－bn＋1，得a1b2＝b1－b2， 因为b1＝1，b2＝，所以a1＝2. 因为a2·a3＝2a7，所以(a1＋d)(a1＋2d)＝2(a1＋6d)， 又d>0，故d＝3，所以an＝3n－1. 若选择③，解答过程如下： 由anbn＋1＝nbn－bn＋1，得a1b2＝b1－b2， 因为b1＝1，b2＝，所以a1＝2. 因为S3＝15，所以3a1＋d＝15， 故d＝3，所以an＝3n－1. (2)由(1)知(3n－1)bn＋1＝nbn－bn＋1，即3nbn＋1＝nbn，所以bn＋1＝bn， 又b1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，为公比的等比数列， 所以bn＝，故Tn＝＝(1－3－n). [规律方法]　本题中对条件anbn＋1＝nbn－bn＋1的灵活运用很关键，将an＝3n－1代入后即可得到数列{bn}的递推关系，进而得到bn＋1＝bn，结合b1＝1，得到{bn}的通项公式． 　在①a3＋a5＝5，S4＝7；②4Sn＝n2＋3n；③5S4＝14S2，a5是a3与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若________．求an. 解　选择条件①：设等差数列{an}的公差为d， 则解得故an＝； 选择条件②：4Sn＝n2＋3n， 当n≥2时，4an＝4Sn－4Sn－1＝n2＋3n－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，即an＝(n≥2)， 当n＝1时，a1＝S1＝＝1，也适合上式， 故an＝； 选择条件③：设等差数列{an}的公差为d， 则 解得a1＝1，d＝或a1＝0，d＝0(不合题意)，故an＝. 类型3　方案选择型 　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． [解]　选①②作条件证明③： 设＝an＋b(a>0)，则Sn＝(an＋b)2， 当n＝1时，a1＝S1＝(a＋b)2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋b)2－(an－a＋b)2＝a(2an－a＋2b)； 因为{an}也是等差数列，所以(a＋b)2＝a(2a－a＋2b)，解得b＝0； 所以an＝a2(2n－1)，所以a2＝3a1. 选①③作条件证明②： 因为a2＝3a1，{an}是等差数列， 所以公差d＝a2－a1＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1，即＝n， 因为－＝(n＋1)－n＝， 所以{}是等差数列． 选②③作条件证明①： 设＝an＋b(a>0)，则Sn＝(an＋b)2， 当n＝1