上篇 层级2 导学微点2 构造法求数列的通项公式（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

[对应学生用书P30] 类型1　递推公式形如an＋1＝qan＋p(p≠0，q≠0且q≠1) 　已知数列{an}满足an＋1＝3an－1，a1＝2，求数列{an}的通项公式． [解]　∵an＋1＝3an－1， ∴an＋1－＝3，∴＝3， ∴数列是以a1－＝为首项，3为公比的等比数列， ∴an－＝·3n－1＝，∴an＝. [规律方法]　求解递推公式形如an＋1＝qan＋p(p≠0，q≠0且q≠1)的数列{an}的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造an＋1＋λ＝q(an＋λ)的形式；二是找到{an＋λ}为等比数列. 　在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则数列{an}的通项公式为________． 解析　由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3(an－2)， 又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列， 所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2. 答案　an＝3n＋2 类型2　递推公式形如an＋1＝qan＋f(n)(q≠0) 　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an－2n－1(n∈N*)，则an＝________． [解析]　因为an＋1＝3an－2n－1，所以＝·－， 即－＝. 因为－＝0，所以－＝0，故an＝2n－1. [答案]　2n－1 [规律方法]　对于an＋1＝pan＋f(n)(其中p是常数)型递推公式，常用待定系数法将其化为an＋1＋Af(n＋1)＝p[an＋Af(n)]，由等比数列的定义知{an＋Af(n)}是公比为p的等比数列(或常数列)，由等比数列的通项公式先求出{an＋Af(n)}的通项公式，再求出{an}的通项公式． 　已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式． 解　∵an＋1＝2an－n＋1， ∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)， ∴＝2， ∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n. 类型3　递推公式形如an＋1＝(r＞0，q≠0，p≠0，an≠0) 　在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，则通项公式bn＝________． [解析]　由bn＋1＝，且b1＝－1. 易知bn≠0，得＝＋3. 因此＋3＝2·，＋3＝2， 故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是＋3＝2·2n－1，可得bn＝，n∈N*. [答案]　，n∈N* [规律方法]　对于递推公式形如an＋1＝(r>0，q≠0，p≠0，an≠0)的数列{an}，求其通项公式时，先对已知等式两边同时取倒数，若r≠p，则按照递推公式形如an＋1 ＝qan＋p(p≠0，q≠0且q≠1)的数列的通项公式的探求方法构造等比数列求解；若r＝p，则直接构造等差数列，求其通项公式，从而得原数列的通项公式． 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则a10＝(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析　由an＋1＝，两边同时取倒数得＝＝＋1，则＋1＝2， 所以数列为等比数列，则＋1＝·2n－1＝2n， 所以an＝，故a10＝＝.故选C. 答案　C 类型4　递推公式形如an＋1＝g(n)an＋f(n) 　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋(n＋1)·2n.则数列{an}的通项公式an＝________． [解析]　由已知得an＋1＝an＋(n＋1)·2n，两边同除以n＋1，得＝＋2n， 设bn＝，即bn＋1－bn＝2n. 所以当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋21＋1＝2n－1， 当n＝1时，也符合该式，所以bn＝2n－1(n∈N*). 所以an＝n·(2n－1)＝n·2n－n. [答案]　n·2n－n 　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 解析　由Sn＝n2an，可得当n≥2时， Sn－1＝(n－1)2an－1， 则an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1， 即(n2－1)an＝(n－1)2an－1， 易知an≠0，故＝(n≥2). 所以当n≥2时， an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝. 当n＝1时，a1＝1满足an＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. 答案　an＝ 学科网（北京）股份有限公司 $