上篇 层级2 导学微点1 三角函数与导数的交汇（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

[对应学生用书P22] 类型1　借助导数求三角函数的最值 　(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　) A．－，　　　　 B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 [解析]　f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0,2π]，则f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x．令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍去)，x＝或x＝.因为f＝cos ＋sin ＋1＝2＋，f＝cos ＋sin ＋1＝－，又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，所以f(x)max＝f＝2＋，f(x)min＝f＝－.故选D. [答案]　D [规律方法]　 用导数法求解三角函数的最值时的两种方法 (1)单调性法，通过换元，借用导数，判断函数的单调性，得函数的最值． (2)比较法，计算出函数在所求区间内所有使f′(x)＝0的点处的函数值和区间端点处的函数值，然后比较大小，即可得出三角函数的最值． 　函数g(θ)＝2sin θ＋sin 2θ的最大值为(　　) A．1＋ B． C．2 D．3 解析　∵g(θ)＝2sin θ＋sin 2θ， ∴g′(θ)＝2cos θ＋2cos 2θ＝2(2cos2θ－1)＋2cos θ＝4cos2θ＋2cos θ－2， 令g′(θ)＝0，得cos θ＝－1或cos θ＝， 当－1＜cos θ＜时，g′(θ)＜0；当＜cos θ＜1时，g′(θ)＞0.所以当cos θ＝，sin θ＝时，g(θ)＝2sin θ＋sin 2θ取得最大值，最大值为2×＋2××＝. 答案　B 类型2　借助导数破解三角函数的极值点问题 　(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B． C. D． [解析]　设ωx＋＝t，则t∈，有两个零点可得2π＜πω＋≤3π，即＜ω≤.又因为有三个极值点，(sin t)′＝cos t，所以＜πω＋≤，所以＜ω≤，综上得＜ω≤.故选C. [答案]　C [规律方法]　解答该类问题关键是两点：一是把相位看作是一个整体，二是找准两个端点的取值范围． 　设函数f(x)＝xcos x的一个极值点为m，则tan＝(　　) A. B． C. D． 解析　由f′(x)＝cos x＋x(－sin x)＝cos x－xsin x＝0， 得tan x＝，所以tan m＝， 故tan＝＝＝.故选B. 答案　B 类型3　借助导数研究三角函数与解不等式相交汇 　已知函数f(x)是定义在上的奇函数．当x∈时，f(x)＋f′(x)tan x>0，则不等式fcos x＋f(－x)sin x＞0的解集为(　　) A.　　　　　 B． C. D． [解析]　令g(x)＝f(x)sin x， 则g′(x)＝f(x)cos x＋f′(x)sin x＝[f(x)＋f′(x)tan x]·cos x. 当x∈时，f(x)＋f′(x)tan x＞0，所以g′(x)＞0，即函数g(x)在区间上单调递增． 又g(0)＝0， 所以当x∈时，g(x)＝f(x)sin x＞0. 因为f(x)是定义在上的奇函数， 所以g(x)是定义在上的偶函数， 不等式fcos x＋f(－x)sin x>0， 即fsin＞f(x)sin x， 即g＞g(x)， 所以解得－＜x＜0， 所以不等式fcos x＋f(－x)sin x＞0的解集是.故选C. [答案]　C [规律方法]　 破解三角函数与解不等式相交汇题的关键 一是会构造函数，即能根据题目特征构造函数，如本题，构造g(x)＝f(x)sin x；二是会转化，如本题，会利用新构造函数的性质，把所求解的不等式转化为不等式组，此时一定要注意函数的定义域，否则，易产生增解． 已知函数f(x)＝x2＋2cos x，若f(a2－2a)－f(2－a)＜0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　因为f(－x)＝(－x)2＋2cos(－x)＝x2＋2cos x＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数，由f(x)＝x2＋2cos x， 得f′(x)＝2x－2sin x＝2(x－sin x)． 当x>0时，令h(x)＝x－sin x， 则h′(x)＝1－cos x≥0， 所以h(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上单调递增， 所以h(x)>0， 所以x>sin x，即f′(x)＝2(x－sin x)>0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又函数f(x)在定义域内为偶函数，则f(x)在(