上篇 层级1 基础点7 平面向量的数量积（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

基础点7　平面向量的数量积 [对应学生用书P11] 1．(2022·唐山摸底演练)已知单位向量a，b满足(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A. B． C. D． 解析　因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2＝2cos〈a，b〉＋1＝0，则cos〈a，b〉＝－.因为a与b的夹角的取值范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.故选C. 答案　C 2．(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3 ＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 答案　C 3．(2022·安徽名校联考)四边形ABCD中，＝，(＋)·(－)＝0，则这个四边形是(　　) A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 解析　由于＝，因此AD∥BC且AD ＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．连接AC，BD，因为＋＝，－＝，(＋)·(－)＝0，所以·＝0，得AC⊥DB，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故选A. 答案　A 4．如图，已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是BC边的中点，则·＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　在△ABC中，＝(＋)，∴·＝(＋)·＝(·＋·)． ∵O是△ABC外接圆的圆心，||是半径长， ∴2||·cos∠OAB＝||，∴·＝||·||cos∠OAB＝＝6.同理可得·＝＝4，∴·＝5.故选C. 答案　C 5．(多选)(2022·福州质检)已知向量m＋n＝(3,1)，m－n＝(1，－1)，则(　　) A．(m－n)∥n B．(m－n)⊥n C．|m|＝|n| D．〈m，n〉＝45° 解析　依题意，m＝[(m＋n)＋(m－n)]＝(2,0)，n＝[(m＋n)－(m－n)]＝(1,1)，所以(m－n)·n＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(m－n)⊥n，选项A错误，选项B正确．|m|＝2，|n|＝，所以|m|＝|n|，选项C正确．cos〈m，n〉＝＝＝，因为0°≤〈m，n〉≤180°，所以〈m，n〉＝45°，选项D正确．故选BCD. 答案　BCD 6．(多选)(2022·济南检测)已知平面向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，则下列说法正确的是(　　) A．|a＋b|＝16 B．(a＋b)·a＝2 C．向量a＋b与a的夹角为30° D．向量a＋b在a上的投影向量为2a 解析　由题意，得a＋b＝(2,2)． 对于A，|a＋b|＝＝4，故A不正确；对于B，(a＋b)·a＝2×1＋2×0＝2，故B正确；对于C，因为cos〈(a＋b)，a〉＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为60°，故C不正确；对于D，向量a＋b在a上的投影向量为·＝2a，故D正确．综上所述，选BD. 答案　BD 7．已知O是△ABC内部一点，且满足＋＋＝0，又·＝2，∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________． 解析　由·＝2，∠BAC＝60°，可得·＝|||AC|cos∠BAC＝||||＝2，所以||||＝4，所以S△ABC＝||||·sin∠BAC＝3，又＋＋＝0，所以O为△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝1. 答案　1 1．平面向量数量积问题的解题方法 (1)借“基”数字化：要先选取一组合适的基(一般用已知的向量表示未知的向量)，建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知向量的方程进行求解． (2)借“系”坐标化：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得以解决． 2．易错提醒 忽视向量夹角范围致误．涉及有关向量的夹角问题要注意两向量夹角的范围是[0，π]，不是(0，π)，其中θ＝0表示两向量同向共线，θ＝π表示两向量反向共线，①向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线；②向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线． 基础点8　排列与组合 [对应学生用书P12] 1．(2022·新高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 解析　先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排