上篇 层级1 基础点5 基本不等式（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

基础点5　基本不等式 [对应学生用书P9] 1．若a＞0，b＞0，ab＝2，则a＋2b的最小值为(　　) A．2 B．4 C．4 D．6 解析　∵a＞0，b＞0，ab＝2，∴a＋2b≥2＝4，当且仅当a＝2b＝2，即a＝2，b＝1时取等号． ∴a＋2b的最小值为4.故选B. 答案　B 2．设实数x满足x＞0，函数y＝2＋3x＋的最小值为(　　) A．4－1 B．4＋2 C．4＋1 D．6 解析　∵x＞0，∴x＋1＞0，∴y＝2＋3x＋＝2＋3(x＋1)－3＋＝3(x＋1)＋－1≥2－1＝4－1，当且仅当3(x＋1)＝，即x＝－1＞0时等号成立，∴函数y＝2＋3x＋的最小值为4－1.故选A. 答案　A 3．(多选)下列函数的最小值是2的是(　　) A．y＝x2＋(x≠0) B．y＝ex＋(x∈R) C．y＝＋(x∈R) D．y＝x2＋(x＞0) 解析　对于A，因为x≠0，所以x2＞0，所以y＝x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立，故A符合题意；对于B，因为ex＞0，所以y＝ex＋≥2＝2，当且仅当ex＝，即x＝0时等号成立，故B符合题意；对于C，因为x2＋4≥4，所以≥2,0＜≤，所以2＜＋，故C不符合题意；对于D，因为x＞0，所以y＝x2＋＝x2＋＋≥3＝3×，当且仅当x2＝，即x＝时等号成立，又3×＝＜＝8＝2，故D不符合题意．综上所述，选AB. 答案　AB 4．(多选)(2022·南京调研)设正实数x，y满足2x＋y＝1，则(　　) A．xy的最大值是 B．＋的最小值是9 C．4x2＋y2的最小值为 D.＋的最大值为2 解析　因为2x＋y＝1，所以xy＝×(2x)×y≤×2＝，当且仅当2x＝y时取“＝”，即x＝，y＝时取“＝”，所以xy的最大值为，所以选项A错误；＋＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝时取“＝”，即x＝，y＝时取“＝”，所以＋的最小值为9，所以选项B正确；4x2＋y2≥＝，当且仅当2x＝y时取“＝”，即x＝，y＝时取“＝”，所以4x2＋y2的最小值为，所以选项C正确；＋＝2×≤2＝2＝，当且仅当2x＝y时取“＝”，即x＝，y＝时取“＝”，所以＋的最大值为，所以选项D错误．故选BC. 答案　BC 5．(2022·重庆第一学期考试)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________． 解析　＝＋＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即x＝1－，y＝－1时等号成立，所以的最小值为3＋2. 答案　3＋2 6．(2022·贵阳五校联考)若实数x，y满足x－3y＝4，则2x＋的最小值为________． 解析　∵x－3y＝4，∴2x＋≥2＝2＝2＝8，当且仅当x＝－3y＝2，即x＝2，y＝－时等号成立，∴2x＋的最小值为8. 答案　8 1．基本不等式求最值的3种解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值． (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值． (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值． 2．易错提醒 (1)多次使用基本不等式求最值，此时要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号． (2)利用均值不等式求解最值需要注意自变量的取值范围，检验等号成立的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $