上篇 层级1 基础点3 常用逻辑用语（教师用书word）-2023大二轮【导学教程】新高考数学专题辅导与训练

基础点3　常用逻辑用语 [对应学生用书P8] 1．(2022·名师原创)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2x＋1＞0 B．对任意实数a，b，若a－b＜0，则a＜b C．若2x为偶数，则x∈N D．π是无理数 解析　对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，故A错误； 对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确； 对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但2x∉N，故C错误； 对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误．故选B. 答案　B 2．(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　解法一　由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，则cos＝cos ＝0，故充分性成立；又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)，而sin＝1或－1，故必要性不成立．所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件． 解法二　由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，则cos＝cos ＝0，故充分性成立；又cos ＝0，sin ＝－1，故必要性不成立．所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选A. 答案　A 3．(2022·苏州八校联盟检测)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　不等式x2－5x＜0的解集A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x|0＜x＜2}，则集合B是A的真子集， 所以“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件，故选B. 答案　B 4．(2022·济南联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}为递增数列”是“{Sn}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当an＝－n时，an＋1－an＝n＋1＞0，所以数列{an}为递增数列，而此时Sn＋1－Sn＝an＋1＜0，所以数列{Sn}为递减数列； 当an＝n时，Sn＋1－Sn＝an＋1＞0，所以数列{Sn}为递增数列，而此时an＋1－an＝－n＋1＜0，所以数列{an}为递减数列． 综上，“{an}为递增数列”是“{Sn}为递增数列”的既不充分又不必要条件，故选D. 答案　D 5．(多选)(2022·鄂东联考)下列命题为真命题的是(　　) A．命题p：“∃x∈R，x2＋3x－2＜0”的否定为綈p：“∀x∈R，x2＋3x－2≥0” B．若a，b，m为实数，则“am2＞bm2”是“a＞b”的充分不必要条件 C．平面向量a，b的夹角为锐角的充要条件是a·b＞0 D．若a，b为实数，则是的充要条件 解析　对于A，由存在量词命题的否定为全称量词命题知，綈p：“∀x∈R，x2＋3x－2≥0”，故A正确；对于B，当am2＞bm2时，由于m2＞0，所以必有a＞b，当a＞b时，若m＝0，则am2＞bm2不成立，所以“am2＞bm2”是“a＞b”的充分不必要条件，故B正确；对于C，当非零向量a，b的夹角为0时也有a·b＞0，而当a，b的夹角为锐角时，必有a·b＞0，所以平面向量a，b的夹角为锐角是a·b＞0的充分不必要条件，故C不正确；对于D，当时，成立，而当a＝3，b＝时，，但不成立，所以是的充分不必要条件，故D不正确．综上所述，选AB. 答案　AB 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分又不必要条件 B．“x＝2”是“1，x,4成等比数列”的充分不必要条件 C．“m＞0，n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的必要不充分条件 D．对于函数f(x)，“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件 解析　对于A，当a＝0，b＝－1时，a＞b成立，但a2＞b2不成立；当a＝－1，b＝0时，a2＞b2成立，但a＞b不成立．所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分又不必要条件，故A正确．对于B，由1，x,4成等比数列，得x2＝1×4，解得x＝±2，所以“x＝2”是“1，x,4成等比数列”的充分不必要条件，故B正确．对于C，当m＞0，n＜0时，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，当m＜0，n＞0时，方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以“m＞0，n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故C不正确．对于D，只有当奇函数在x＝0处有意义时才有f(0)＝0，如函数y＝是奇函数，但其图象不经过原点，所以“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的既不充分又不必要条件，故D不正确．综上所述，选AB