皖南名校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

绝密★启用前 皖南名校上学期期中联考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是 A．30° B．60° C．120° D．135° 3．已知空间中，是两条不同直线，是平面，则 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．下列函数既是奇函数又是增函数的是 A． B． C． D． 5．设，则的大小关系为 A． B． C． D． 6．已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则的方程是 A． B． C． D． 7．函数在的图像大致为 A． B． C． D． 8．已知，则的值是 A． B． C． D． 9．已知数列中，，，则等于 A． B． C． D． 10．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了 附： A．10% B．20% C．50% D．100% 11．设分别是的内角A，B，C的对边，已知D是BC边的中点，且，则等于 A． B． C． D． 12．设，，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设，则______. 14．若变量满足约束条件 ，则的最小值为______. 15．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______. 16．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1，，，，则此球的表面积等于______. 三、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17．（本小题满分10分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（本小题满分12分）已知点，，为坐标原点，函数. (1)求函数的解析式及最小正周期; (2)若为的内角，，，的面积为，求的周长. 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，． (1)求证：平面； (2)过的平面交于点，若，求三棱锥的体积． 20．（本小题满分12分）如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路上一游客休息区，已知，（百米），Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区. (1)求有轨观光直路的长； (2)已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由. 21．（本小题满分12分）已知数列中，，. (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求λ的取值范围. 22．（本小题满分12分）已知函数，，且. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 皖南名校上期期中联考 高二数学试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C B D D A A B B C D 1．【解析】∵，， ∴. 2．【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为120°. 3．【解析】对于A，B，直线m，n可能平行、相交或异面，A，B错误；对于C，D，由直线与平面垂直的性质定理易得C正确，D错误. 4．【解析】是奇函数，但不是增函数，是奇函数也是增函数，不是奇函数也不是偶函数，是偶函数． 5．【解析】因为，，，所以. 6．【解析】圆的圆心为且与直线平行，所求直线的斜率为2，则直线的方程为，即. 7．【解析】因为，又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B和D；又，故排除C. 8．【解析】 ，所以. 9．【解析】因为，所以，，，，，所以得到，因为，所以得到，所以. 10．【解析】当时，，当时，， 因为，所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%. 11．【解析】设M是AB边上的中点，又D是BC边的中点，所以, , ，， . 12．【解析】很明