第6章 6.2.2 向量的减法运算-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

6.2.2　向量的减法运算 学习任务目标 　　1.理解相反向量的概念． 　　2.理解向量减法的几何意义． 　　3.能用向量的加法和减法解决相关问题. (1)实数a的相反数记作－a. (2)如果x，y∈R，那么x－y＝x＋(－y). 知识点一　相反向量 1．定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2．性质： (1)－(－a)＝a. (2)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. [微训练] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)相反向量就是方向相反的向量． (×) (2)向量与是相反向量． (√) (3)－＝，－(－a)＝a. (√) (4)两个相等向量之差等于0. (×) 知识点二　向量的减法 1．定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2．作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图． [微训练] 1．在平行四边形ABCD中，－＝(　　) A. B. C. D. A　解析：－＝，在平行四边形ABCD中，＝. 2．在△ABC中，＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a B　解析：如图，∵＝＋＝a＋b，∴＝－＝－a－b. 向量减法的几何意义 1．如图，在四边形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c A　解析：＝－＝(＋)－＝a＋c－b. 2．(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是(　　) A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同 B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反 C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b| D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同 ABD　解析：当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确． 3．若向量a，b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝2. 解析：因为向量a，b方向相反，且|a|＝|b|＝1，所以|a－b|＝2. 向量减法的运算及简单应用 【例1】若O，E，F是不共线的任意三点，则(　　) A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ B　解析：＝＋＝－.故选B. 【例2】化简下列各向量的表达式： (1)＋－； (2)(－)－(－)； (3)(＋＋)－(－－)． 解：(1)＋－＝－＝. (2)方法一：原式＝－－＋ ＝(＋)－(＋) ＝－＝0. 方法二：原式＝－－＋ ＝(－)＋(－) ＝＋＝0. (3)(＋＋)－(－－) ＝(＋)－(－)＝－＝0. 【类题通法】 向量减法运算的常用方法 1．如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－＝(　　) A. B. C. D. D　解析：由题图可知，－＝－＝＝. 2．(多选)化简以下各式，结果为零向量的是(　　) A.＋＋ B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ ABCD　解析：对于选项A，＋＋＝＋＝－＝0；对于选项B，－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；对于选项C，－＋＝(＋)－＝－＝0；对于选项D，＋＋－＝＋＋＝－＝0. 向量减法几何意义的应用 根据向量加法、减法的几何意义，探究以下问题． 如图，四边形ABCD为平行四边形，设＝a，＝b. 探究1：当a与b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|? 提示：因为四边形ABCD为平行四边形， 所以|a＋b|＝|＋|＝||， |a－b|＝|－|＝||. 又|a＋b|＝|a－b|，即||＝||， 所以▱ABCD为矩形． 所以当a⊥b时，|a＋b|＝|a－b|. 探究2：当a与b满足什么条件时，四边形ABCD为菱形？ 提示：当|a|＝|b|时，▱ABCD为菱形． 探究3：当a与b满足什么条件时，四边形ABCD为正方形？ 提示：当|a|＝|b|，且a⊥b时，▱ABCD为正方形． 【例3】如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：方法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 1．已知O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥，且|－|＝|－|，则四边形ABCD一定为(　　) A．菱形 B.任意四边形 C．矩形 D.平行四边形 D　解析：由|－|＝|－|知||＝||，且∥，故四边形ABCD是平行四边形． 2．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　)