第6章 6.2.4 第2课时 向量的数量积的运算律-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

第2课时　向量的数量积的运算律 学习任务目标 　　1.能通过向量数量积的定义掌握向量数量积的运算律． 　　2.能利用运算律进行向量的数量积运算. (1) 已知向量a，b满足|a|＝8，|b|＝3，a·b＝12，则a与b的夹角为60°. (2)已知单位向量a，b的夹角为，则a2＋a·b＝. 知识点　向量数量积的运算律 1．运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2．向量的数量积与实数乘积运算性质的比较 实数a，b，c 向量a，b，c a≠0，a·b＝0⇒b＝0 a≠0，a·b＝0b＝0 a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)a＝c |a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b| 满足乘法结合律 不满足乘法结合律 [微训练] 已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．－5 C　解析：因为|a|＝3，|b|＝2， 所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5. 向量数量积的运算律的应用 1．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝(　　) A．1 B． C．2 D．或2 C　解析：|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×2＋4＝4，则|a－b|＝2. 2．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝3. 解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3. 3．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则(2a－b)·(a＋3b)＝0. 解析：(2a－b)·(a＋3b) ＝2a2＋6a·b－a·b－3b2 ＝2|a|2＋5a·b－3|b|2 ＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4 ＝0. 向量的夹角问题 设向量a，b的夹角为θ，请根据a·b＝|a||b|cos θ，探究下列问题． 探究1：向量a，b的夹角为锐角的充要条件是什么？ 提示：a·b>0，且a与b不同向共线． 探究2：向量a，b的夹角为钝角的充要条件是什么？ 提示：a·b<0，且a与b不反向共线． 探究3：向量a与b垂直的充要条件是什么？ 提示：a·b＝0. 【例1】设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　) A. B. C. D. A　解析：设a与b的夹角为θ. 由题意得(3a－2b)2＝7， 所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7. 又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝. 所以|a||b|cos θ＝，即cos θ＝. 又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为. 【例2】已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直？ 解：由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d，得c·d＝0， 即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b) ＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2 ＝27m＋3(5m－9)－60 ＝42m－87＝0. 所以m＝. 即m＝时，c与d垂直． 【类题通法】 两个向量的夹角与其数量积的关系 (1)向量a，b夹角为锐角的充要条件是a·b>0且a与b不同向共线． (2)a，b夹角为钝角的充要条件是a·b<0且a与b不反向共线． (3)a与b垂直的充要条件是a·b＝0. 1．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C． D．－ B　解析：由题意知，＝＝， 所以m·n＝|n|2＝n2， 因为n·(tm＋n)＝0， 所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0， 所以t＝－4. 2．已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小． 解：设a与b的夹角为θ， 由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2 ＝3＋10cos θ－8＝0， 所以cos θ＝，又0≤θ≤π， 所以θ＝，即a与b的夹角为. 向量数量积在平面几何中的应用 【例3】若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，试判断△ABC的形状． 解：由(－)·(＋－2)＝0， 得·(－＋－)＝0， 即·(＋)＝0， 从而(－)·(＋)＝0， 所以2－2＝0，即||2＝||2， 则||＝||， 故△ABC是等腰三角形． 1．若·＋＝0，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B.钝角三角形 C．锐角三角形 D.等腰直角三角形 A　解析：因为0＝·＋2＝·(＋)＝·，所以⊥，所以∠BAC＝90°