专题06 染色问题-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题06 染色问题 【方法技巧与总结】 涂色问题常用方法： (1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法； (2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； (3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数. 种颜色圆周染色问题 如图，把一个圆分成个扇形，每个扇形用种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法. 正常着色定理 如图，用（为正整数）种颜色给图的个顶点着色，则正常着色的方法为：，. 【典型例题】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 例1．（2023·全国·高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．72 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【解析】 由图知：两组颜色可以相同， 若涂4种颜色：颜色相同，则4种选一种涂有，余下3种颜色涂3个区域有，共种，同理颜色相同也有24种； 若涂3种颜色，则、分别涂相同的颜色，首先4种颜色选3种有种，再所选3种中选一种涂5有种，余下2种颜色涂、个区域有，共有种； 综上，共有72种. 故选：A 例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类： 若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法， 最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种， 若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法， 涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案 种方法， 所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种. 故选：C 例3．（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案. A．96 B．144 C．240 D．360 【答案】A 【解析】要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类， 第一类是仅用三种颜色染色， 即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法； 第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法． 由分类加法原理得总的染色种数为种． 故选：A． 例4．（2023·全国·高三专题练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（    ） A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种 【答案】D 【解析】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法． 2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法． 故不同的涂色方法共有756种． 故选：D 例5．（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】考虑、、三个区域用同一种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种； 考虑、、三个区域用种颜色，共有方法数为种． 所以共有方法数为种． 故选：C． 例6．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ） A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【解析】法一：有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， 若同色，有4种颜色可选； 若同色，有4种颜色可选； 若与、都不同色，则有2种颜色可选，此时有4种颜色可选，故共有种． 法二：当使用