专题04 数字问题-2023年新高考数学题型全归纳之排列组合

专题04 数字问题 【方法总结】 某个或某几个元素要或不要排在指定位置,可先排这个或这几个元素,再排其他的元素(元素代先法);也可针对特殊元素,先把指定位置安排好元素,再排其他的元素(位置化先法). 【典型例题】 例1.(2023·全国·高三专题练习)用0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为( ) A.36 B.48 C.60 D.72 【答案】C 【解析】当个位数为0时,有个, 当个位数为2或4时,有个, 所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个, 故选:C. 例2.(2023·全国·高二专题练习)用数字、、组成五位数,且数字、、至少都出现一次,这样的五位数共有( )个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】首先考虑全部的情况,即每个数位均有种选择,共有个, 其中包含数字全部相同只有种情况, 还有只含有个数字的共有个, 因此,满足条件的五位数的个数为个. 故选:B. 例3.(2023·全国·高二专题练习)罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码,它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下: 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴,“Ⅴ”与“X”需要2根火柴,若为0,则用空位表示. (如123表示为,405表示为)如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的不同的三位数的个数为( ) A.87 B.95 C.100 D.103 【答案】D 【解析】用6根火柴表示数字,所有搭配情况如下: 1根火柴和5根火柴:1根火柴可表示的数为1;5根火柴可表示的数为8,和0一起,能表示的数共有4个(108,180,801,810). 2根火柴和4根火柴:2根火柴可表示的数为2、5;4根火柴可表示的数为7,和0一起,能表示的数有 个. 3根火柴和3根火柴:3根火柴可表示的数为3、4、6、9,和0一起,能表示的数分为2类:除0外的两个数字相同,可表示的数有个;除0外的两个数字不同,则有个,所以共有 个. 1根火柴、1根火柴和4根火柴:即有1、1、7组成的数,共有3个(117,171,711). 1根火柴、2根火柴和3根火柴:即由1,2或5中的一个,3、4、6、9中的一个数字组成的三位数,共有 个. 2根火柴、2根火柴、2根火柴:即由2或5组成的三位数,分为两类:三个数字都相同,共有2个(222,555);三个数字中的两个数字相同,则有个,共有 个. 综上可知,可组成的三位数共有 个. 故选:D. 例4.(2023·全国·高二专题练习)我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等(如图所示),我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( ) A.9 B.8 C.6 D.4 【答案】B 【解析】因为所有数的和为,所以每行每列以及对角线的和都是15,采用列举法:492、357、816;276、951、438;294、753、618;438、951、276;816、357、492;618、753、294;672、159、834;834、159、672.共8种方法, 故选:B. 例5.(2023·全国·高二专题练习)用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数,则下列说法正确的是( ) A.可组成个不重复的四位数 B.可组成个不重复的四位偶数 C.可组成个能被整除的不重复四位数 D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列,则第个数字为 【答案】BC 【解析】A选项,有个,错, B选项,分为两类:在末位,则有种,不在末位,则有种, ∴共有种,对, C选项,先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来, 即先选:,、、、, 它们排列出来的数一定可以被整除,∴共有:种,对, D选项,首位为的有个,前两位为的有个,前两位为的有个,此时共有个, 因而第个数字是前两位为的最小数,即为,错, 故选:BC. 例6.(2023秋·北京·高二北京八中校考期末)用三个数字组成一个四位数,要求每个数字至少出现一次,共可组成个不同的四位数_(用数字作答). 【答案】36 【解析】已知用三个数字组成一个四位数且每个数字至少出现一次, 所以包含一下三种形式: ①两个1,一个2,一个3; ②一个1,两个2,一个3; ③一个1,一个2,两个3. 其余情况①可以组成种情况. 同理情况②③均可以组成种情况. 因此一共可以组成个不同数字. 故答案为: 例7.(2023·全国·高三专题练习)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中个位､十