精品解析：北京市朝阳区2023届高三上学期数学期末试题

北京市朝阳区2022~2023学年度第一学期期末质量检测 高三数学 2023.1 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 5. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 过直线上任意一点，总存在直线与圆相切，则k的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知函数，若，且函数部分图象如图所示，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 10. 在数列中，，若存在常数c，对任意的，都有成立，则正数k的最大值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5题，每题5分，共25分. 11. 的展开式中的常数项为___________. 12. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则__________；其前n项和的最大值为__________． 13. 若函数在区间上是严格减函数，则实数a的最大值为________ 14. 抛物线准线l的方程为__________．若点P是抛物线C上的动点，l与y轴交于点A，则（O是坐标原点）的最大值为__________． 15. 如图，在棱长为a的正方体中，P，Q分别为的中点，点T在正方体的表面上运动，满足． 给出下列四个结论： ①点T可以是棱的中点； ②线段长度的最小值为； ③点T的轨迹是矩形； ④点T的轨迹围成的多边形的面积为． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，． （1）求； （2）若，求最小值． 17. 跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军，为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）： 高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94； 高三（2）班：137，126，116，108； 高三（3）班：163，134，112，103； 高三（4）班：158，132，130，127，110，106． 假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立． （1）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率； （2）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望； （3）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，E，F分别为的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知椭圆的右顶点，P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，面积的最大值为1． （1）求椭圆C方程及离心率； （2）过点的直线与椭圆C交于另一点Q，直线分别与y轴相交于点E，F．当时，求直线的方程． 20. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）若，证明：． 21. 已知无穷数列的各项均为正数，当时，；当时，，其中表示这s个数中最大的数． （1）若数列的前4项为1，2，2，4，写