6.3.4 空间距离的计算（题型专训）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.4 空间距离的计算 一、单选题 1．在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【解析】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体边长为1，则， 则， 设异面直线AD，所成角为， 则. 故选：D 2．已知，，，则点A到直线BC的距离为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】首先利用空间向量求出在上的投影，再利用勾股定理即可求解. 【解析】由题意可得，，，则在上的投影为，则点到直线的距离为. 故选：B 3．两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【解析】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 ，，，，． ，． 令向量，且，则， ，， ，． 异面直线和之间的距离为： ． 故选：C. 5．在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（    ） A．2 B．1或3 C．2或4 D．或 【答案】B 【分析】由点到平面的距离是确定的且平面只有一个，可得，且两点在平面同侧，由此可得线段的长，从而求得值， 【解析】因为有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，所以，且两点在平面同侧，， ，或3． 若，则线段与平面至少有下列两种位置关系，即平面至少有两个． 若，由上面的图形知，两点到平面的距离的差的绝对值不大于，与已知矛盾，即不存在平面满足题意． 故选：B． 6．已知四边形是边长为4的正方形，分别是边的中点，垂直于正方形所在平面，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，交于，交于，过作，垂足为，则问题转化为求的长度，根据两个直角三角形相似，对应边成比例可解得结果. 【解析】如图：连接，交于，交于， 因为分别是边的中点，所以， 因为平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，所以，又，， 所以平面，因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 过作，垂足为，则平面，则为点到平面的距离， 在直角三角形和直角三角形中，，所以， 所以，所以， 因为正方形的边长为4，所以， ，， 所以. 所以点到平面的距离为. 故选：D 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定，考查了平面与平面垂直的判定与性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了求点到平面的距离，属于中档题. 7．如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，再利用点到平面的距离，即可得答案； 【解析】如图，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，，∴. ∴点到平面的距离. 故选：B. 【点睛】本题考查利用向量法求点到面的距离，考查空间想象能力、运算求解能力. 8．如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的中心，若为平面内的一个动点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，列出线面距离公式即可求解. 【解析】 如图，以为轴建立空间直角坐标系，则有 ，因为为正方形的中心，得， ,，， 设平面的法向量为，利用，则， 取，解得，有，且平面，则直线平面， 设直线的到平面距离为，取直线上一点，与平面上一点，则， 利用空间中点面距离公式有：. 故选：A 9．如图，已知正方体棱长为3，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（    ） A．21 B．22 C．23 D．13 【答案】D 【解析】建立空间直角坐标系,根据在内可设出点坐标，作,连接,可得，作，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得的范围. 【解析】根据题意,以D为原点建立空间直角坐标系如图所示： 作交于M,连接，则 作交于N，则即为点P到平面距离. 设,则 ∵点到平面距离等于线段的长 ∴ 由两点间距离公式可得，化简得,则解不等式可得 综上可得 则在中 所以（当时 取等） 故选:D 【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离