1.2空间向量基本定理题型专练-2024-2025学年高二数学同步教学精品课件+练习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2空间向量基本定理—题型专练 题型一 空间向量基底的概念及辨析 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 2. 已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 3. 若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 4. 正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 5. 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6. （多选）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 题型二 空间向量的基底表示向量 1.在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2.在平行六面体中，，相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3.在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 4. 四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 5.如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则（    ） A． B． C． D． 题型三 利用空间向量基底证明线线位置关系 1. 在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 2. 已知空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 3. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且.求证：. 4. 已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 5. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 题型四 利用空间向量基底求模、夹角 1. 已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 2. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量； (2)求BM的长. 3. 如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 4. 如图，在四面体中，，，，. (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 5. 如图，平行六面体中，，， (1)求对角线的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 6. 已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 一、单选题 1．若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 2．在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 3．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 4．平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 5．在平行六面体中，M，N分别为线段，上的点，则“且”是“M，N，三点共线”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，平面交平面于点，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，，则为的垂心 C．若与所成的角为，与平面所成的角为，则 D．若，则与平面所成角的余弦值为 8．如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 10．已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 11．已知三棱锥中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若，记，，，则下列说法正确的是（    ） A．为一组单位正交基底 B． C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题 12．在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 13．如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 14．如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ． （13题） （14题）   四、解答题 15．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 16．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，， ，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)． 17．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 18．如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 19．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 20．已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，，. (1)用，，表示； (2)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2空间向量基本定理—题型专练 题型一 空间向量基底的概念及辨析 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误； 对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误； 对于C，假设向量共面，则， 即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确； 对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误； 故选：C. 2. 已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以是共面向量，不能构成基底，A不正确； 因为不是共面向量，所以可以构成基底，B正确； 因为与平行，所以不能构成基底，C不正确； 因为，所以共面，不能构成基底，D不正确. 故选：B. 3. 若构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是空间的一个基底，故不共面， A选项， 设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； C选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底； D选项，设， 则，得 ， 故共面， 故不可构成空间的一个基底. 故选：D 4. 正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确； B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误； C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为，， 设， 即， ，无解， 故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误. 故选：A 5. 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误； 对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误； 对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确； 对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误； 故选：C 6. （多选）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由于，故与、共面，无法构成空间的一个基底，故B错误； 因为是空间的一个基底，由于不存在实数对、，使得， 若成立则，显然方程组无解，故、与可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确； 故选：ACD 题型二 空间向量的基底表示向量 1. 在四面体中，，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，    因为Q是的中点，所以， 因为M为PQ的中点，所以， 故选：A. 2. 在平行六面体中，，相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】   如图所示，， 故选：C 3. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C. 4. 四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为， 所以，所以，所以 ， 所以， 故选：A. 5. 如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为P是的中点， 所以， 又因为点Q在上，且， 所以 ， 所以， 故选：C. 题型三 利用空间向量基底证明线线位置关系 1. 在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】∵ ∴ （2）连接 ∵分别是的中点，∴. 又∵，∴， ∴，则四点共面. 2. 已知空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】在空间四边形OABC中，令，则， 令，G是MN的中点，如图， 则，， 于是得 ， 因此，， 所以OG⊥BC. 3. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 【答案】证明见解析 【详解】证明：设 则 ， ， ， ， ， 又 ，同理可证， 这个四面体相对的棱两两垂直. 4. 已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC． 【答案】证明见解析 【解析】在空间四边形OABC中，令，则， 令，G是MN的中点，如图， 则，， 于是得 ， 因此，， 所以OG⊥BC. 5. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 题型四 利用空间向量基底求模、夹角 1. 已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，. （1）证明：； （2）求异面直线与夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2） 【解析】设，， 由题可知：两两之间的夹角均为，且， （1）由 所以即证. （2）由，又 所以， 又 则 又异面直线夹角范围为 所以异面直线夹角的余弦值为. 2. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，. (1)试用表示向量； (2)求BM的长. 【解析】（1） （2） ，所以，则BM的长为. 3. 如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 4. 如图，在四面体中，，，，. (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在四面体中，设，，，则，， ，，， . （2）由（1）知，因为，则，因为F是CD中点，则，如图， 于是得， 因此 ，即有， 所以线段EF的长为. 5. 如图，平行六面体中，，， (1)求对角线的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，， 所以三角形为等腰直角三角形，所以， 又因为，， 所以三角形为边长为1的等边三角形， 以向量为基底， 则有， 两边平方得 ， 所以， 即, 所以对角线的长度为3； （2）因为，，，， 所以 , 所以, 即异面直线与所成角的余弦值为. 6. 已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底， 因为，，且， 则， ， 所以 . （2）由（1）知，，则， 又，所以向量与夹角的余弦值. 一、单选题 1．若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量共面定理可知 BCD 选项中的向量共面, 无法作为一组基底; 假设 A 中向量共面, 可知不存在满足条件的实数 , 由此知假设错误, 则 A 中向量可以作为基底. 【详解】对于 A , 假设 共面, 则可设 方程组无解, 不共面, 可以作为空间一组基底, A 正确; 对于 B, 共面, 不能作为空间一组基底, B 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, C 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, D 错误. 故选： A 2．在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案. 【详解】连接，因为，分别是的中点， 所以 ， 故． 故选：A 3．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由向量共面列式求解即得. 【详解】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B 4．已知平行六面体的底面为矩形，，，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积计算即得. 【详解】由，得，， 而，则，又， 所以. 故选：A 5．在平行六面体中，M，N分别为线段，上的点，则“且”是“M，N，三点共线”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合空间向量的线性运算及共线向量定理判断即得. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，由，得， 因此， 而，由，得， 因此， 则，即，又是直线和的公共点， 于是和共线，即M，N，三点在一条直线上； 当与重合，为的中点时，由四边形是平行四边形， 得M，N，共线，而且不成立， 所以“且”是“M，N，三点共线”的充分不必要条件. 故选：B    6．若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，其中、，利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可得解. 【详解】因为、、为三个不共面的空间向量， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，，解得. 故选：C. 7．在三棱锥中，平面交平面于点，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，，则为的垂心 C．若与所成的角为，与平面所成的角为，则 D．若，则与平面所成角的余弦值为 【答案】C 【分析】对于A：利用向量的几何运算可判断；对于B：通过证明面，得到，进而通过同样的理由可得答案；对于C：通过列举反例来判断；对于D：通过计算可判断. 【详解】对于A：连接并延长交于点， 因为三点共线，则存在实数，使得， 又三点共线，则存在实数，使得， 则 ， 又， 所以，所以，正确； 对于B：因为，且，， 所以面，又面， 所以，同理，， 即为的垂心，正确； 对于C：当时，，当平面时，，此时，错误； 对于D：有已知得 即为与平面所成角， 作于，于，连接， 由明显可得， 则， 又，，，所以面，又面， 所以，同理， 则，又， 所以， 所以，正确. 故选：C. 8．如图，在平行六面体中，为的中点，点满足．若四点在同一个平面上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得存在实数，使，表示出，根据系数对应相等列方程求解. 【详解】由平行六面体的特征可得 设，则， 可得， 又 由四点共面可得存在实数，使 所以， 所以，解得. 故选：B. 二、多选题 9．给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】BCD 【分析】根据空间向量组成基底的条件逐项判断即可. 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面， 则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 故选：BCD. 10．已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】以，，为基底向量，若，则，根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，依题意，，，在同一平面内，连接、、，即可证明平面，要使，则需在上，再由四点共面判断D. 【详解】设正三棱柱的棱长为2， 以，，为基底向量，则， ，， 可得 ， 若，则， 则， 即， 所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误； 又，故，，，在同一平面内， 连接、、，依题意，，，平面， 所以平面，要使，所以需在上， 由， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确. 故选：BCD． 11．已知三棱锥中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若，记，，，则下列说法正确的是（    ） A．为一组单位正交基底 B． C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】如图，将三棱锥补形为正方体，结合单位正交基底、向量的线性运算、三棱锥的体积公式、球的表面积公式依次求解即可． 【详解】A：将三棱锥补形为正方体，则三棱锥内接于直径为的球， 如图所示，则两两垂直，故A正确； B：，故B错误； C：由题意知平面，又，， 所以，故C正确； D：由选项A知，该正方体的对角线长为，三棱锥外接球即为正方体得外接球， 所以该球的表面积，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12．在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 【答案】 【分析】取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】取中点N，连接， 又 ，. 故答案为：. 13．如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理结合题意求解即可. 【详解】因为E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 所以 . 故答案为： 14．如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    【答案】 【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【详解】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，    所以 ， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案； （2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意得， 所以 ； （2）， 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 16．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，， ，．求证：    (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与可得证. 【详解】（1）证明：由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面． （2）证明：由，，， 得 ， ． （3）证明：由（2）知， 所以 ， ． 17．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由平行四边形法则可得，在中，根据重心的性质可得，即可求解； （2）由（1）可知，，，利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； （2）由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 18．如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， . (1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量； (2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据正三棱锥的性质，结合求解即可. 【详解】（1）. （2）因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是正三角形， 则，，， ， 所以， 又因为，所以 19．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 20．已知在正方形中，，点在边上，且，把沿折起，使得点到达点处，.设，，. (1)用，，表示； (2)求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用图形的几何性质以及空间向量的分解即可得解. （2）利用空间向量的平方以及数量积之间的关系，以及解三角形等知识即可求解. 【详解】（1）因为，且，， 所以，， . （2）由题意得， 所以，，，，， 所以 ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$