6.3.4 空间距离的计算（课件）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.4 空间距离的计算 第6章 空间向量与立体几何 教师 xxx 苏教版（2019） 选择性必修第二册 空间向量与距离 探究新知 探究新知 典型例题 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 典型例题 典型例题 典型例题 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 探究新知 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 感谢观看 1.点到直线的距离 如图，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形.因为A，P都是定点，所以||，与u的夹角∠PAQ都是确定的.于是可求||.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ. 设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ＝＝. 2.点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此 PQ＝·＝＝. 题型一　点到直线的距离 [学透用活] 例1　已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． [解]　以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量为eq \o(A1C1,\s\up17(―→))＝(－4,3,0)，而eq \o(BC1,\s\up17(―→))＝(0,3,1)，所以点B到直线A1C1的距离 d＝BC1,\s\up17(―→))eq \r(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq \o(BC1,\s\up17(―→))·\f(eq \o(A1C1,\s\up17(―→)),| eq \o(A1C1,\s\up17(―→))|)))2) ＝eq \r(10－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))2)＝eq \f(13,5). [方法技巧] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系；　 (2)求直线的单位方向向量； (3)求所求点与直线上某一点所构成的向量； (4)代入点线距公式求距离． [对点练清] 在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 解：法一：建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，∴eq \o(AO1,\s\up17(―→))＝(－2,0,2)，eq \o(AC,\s\up17(―→))＝(－2,3,0)，∴eq \o(AC,\s\up17(―→))对应的单位向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,\r(13))，\f(3,\r(13))，0))， ∴O1到直线AC的距离d＝AO1,\s\up17(―→))eq \r(2－eq \o(AO1,\s\up17(―→))·u2) ＝ eq \r(8－\f(16,13))＝eq \f(2\r(286),13). 法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y,0)，则eq \o(O1D,\s\up17(―→))＝(x，y，－2)，eq \o(AD,\s\up17(―→))＝(x－2，y,0)． ∵eq \o(AC,\s\up17(―→))＝(－2,3,0)，eq \o(O1D,\s\up17(―→))⊥eq \o(AC,\s\up17(―→))，eq \o(AD,\s\up17(―→))∥eq \o(AC,\s\up17(―→))， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝0，,\f(x－2,－2)＝\f(y,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,13)，,y＝\f(12,13)，))∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(12,13)，0))， ∴|eq \o(O1D,\s\up17(―→))|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2＋－22)＝eq \f(2\r(286),13). 即O1到直线AC的距离为eq \f(2\r(286),13). 题型二　点到平面的距离或直线到平面的距离 [探究发现] 怎样推导利用向量求点到平面的距离公式？ 提示