6.3.4 空间距离的计算（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6．3.4　空间距离的计算 用向量法求点线距的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．　　 [对点训练] 1.已知A(2,2,0)，B(1,4,2)，C(0,0,1)，则原点O到平面ABC的距离为________． 线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行． 点面距的求解步骤： (1)求出该平面的一个法向量； (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．　　 [对点训练] 已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点．PA＝2， 且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点． (1)求证：AE∥平面PFQ； (2)求AE与平面PFQ间的距离． 一、在典题训练中内化学科素养 距离问题在立体几何中有直接求点线距、点面距，或者可转化为这两类问题的题型，如线线距、线面距、面面距或者求一几何体的高．在高考中时有考查，一般采用向量法求解．重点是理解掌握这两种距离的求法根据，在解题过程中体现了对直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养的考查． (2019·全国卷Ⅰ·节选)如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面 是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别 是BC，BB1，A1D的中点．求点C到平面C1DE的距离． 内化素养 直观想象 根据直四棱柱的特征以D为原点建立空间直角坐标系 数学运算 向量的运算，方程组的求解等 2．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为________． ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(九)” (单击进入电子文档) 31 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题． 2．体会向量方法在解决几何问题中的作用． 重点 难点 重点：会用空间向量方法求立体几何中的距离问题． 难点：理解距离的向量表示及求解方法. 1．点到平面的距离 若P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d＝ . 2．点到直线的距离 若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d＝ . 设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d＝|eq \o(AP,\s\up17(―→))|sin〈eq \o(AP,\s\up17(―→))，e〉． o(AP,\s\up17(―→))eq \f(|·n|,|n|) o(AP,\s\up17(―→))eq \f(|·n|,|n|) 1．已知点A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为 (　 ) A.eq \f(2\r(2),3) B．1 C.eq \r(2) D．2eq \r(2) 解析：由题意知，eq \o(BC,\s\up17(―→))＝(－1,2，－2)，取u＝o(BC,\s\up17(―→))eq \f(,|eq \o(BC,\s\up17(―→))|) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))，a＝eq \o(BA,\s\up17(―→))＝(－1,0,0)，∴a2＝1，a·u＝eq \f(1,3)，∴点A到直线BC的距离为eq \r(a2－a·u2)＝eq \r(1－\f(1,9))＝eq \f(2\r(2),3). 答案：A　 2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为 (　 ) A．10 B．3 C.eq \f(8,3) D．eq \f(10,3) 解析：点P到平面α的距离d＝o(PA,\s\up17(―→))eq \f(|·n|,|n|) ＝eq \f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝eq \f(10,3). 答案：D　 ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 用向量法求点线距 —————————————————————————————————— [典例]　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A