6.3.3 空间角的计算（题型专训）-高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.3空间角的计算 一、单选题 1．在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【解析】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体边长为1，则， 则， 设异面直线AD，所成角为， 则. 故选：D 2．若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面角的向量求法判断 【解析】由题意得， 故选：D 3．已知在直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角正弦值. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得．又， 所以与平面所成角的正弦值为， 故选：A. 4．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据法向量坐标求出其夹角，然后根据法向量夹角与二面角的关系，即可得到结果. 【解析】，即 ∴两平面所成二面角为或 故选:C. 5．已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式结合特殊角的三角函数值求解即可． 【解析】解：以点为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系如图所示， 因为是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点， 所以， 故，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， 故， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 故选：B． 6．如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基底表示出，结合向量夹角公式求得正确答案. 【解析】连接， 以为空间一组基底， 则， ， 所以， ， 设直线与直线所成角为， 则, 由于异面直线夹角的取值范围是，所以. 故选：B 7．在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量可求线面角的正弦值. 【解析】 因为平面，而平面， 故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则且， 故， 故，，， 设平面的法向量为，则： 由可得，取，则， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：B. 8．如图，在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系利用向量法来求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】依题意，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 所以. 故选：A 9．在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果. 【解析】设这个二面角的度数为， 由题意得， ， ， 解得， ∴， ∴这个二面角的度数为， 故选：C. 【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角. 10．如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角的余弦值，再得正弦值． 【解析】由题意可知DB，DE，DP两两垂直，分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 由已知，到直线的距离为， 则，，，，从而，. 故，因此是钝角， . 故选：D． 11．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解. 【解析】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则，