专题06 四点共圆（专项训练）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题06 四点共圆（专项训练） 1．（2021秋•渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（　　） A．80° B．40° C．100° D．160° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ABE+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE＝80°， 故选：A． 2．（2021秋•滨湖区期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 【答案】A 【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC， ∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∴A，B，C，D，四点共圆， ∵AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ACD＝60°， ∵DM＝DC， ∴△DMC是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ACD＝60°， ∴∠ADM＝∠BDC， ∵AD＝BD， ∴△ADM≌△BDC（SAS）， ∴AM＝BC， ∴AC＝AM+MC＝BC+CD， ∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC， 且AD＝AB＝6， ∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大， 此时C点在的中点处， ∴∠CAB＝30°， ∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4， ∴CB+CD最大值为AC＝4， 故选：A． 3．（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 　 　． 【答案】 【解答】解：连接BD并延长，如图， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°， ∴∠ABC+∠EDF＝180°， ∴B，E，D，F四点共圆， ∵△DEF为等腰直角三角形， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠DBF＝∠DEF＝45°， ∴∠DBF＝∠DBE＝45°， ∴点D的轨迹为∠ABC的平分线上， ∵垂线段最短， ∴当AD⊥BD时，AD取最小值， ∴AD的最小值为AB＝， 故答案为：． 4．如图，△ABC和△BCD均为直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，连接AD．若∠ADB＝30°，则AC的长为 　 　． 【答案】 【解答】解：∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∵∠ADB＝30°，AB＝2， ∴∠ACB＝∠ADB＝30°， ∴BC＝2AB＝4， ∴AC＝． 故答案为：． 5．如图，在四边形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为　　． 【答案】18 【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴A，C两点在以BD为直径的圆上， ∴当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD面积最大， ∵BD＝6， ∴AB＝AD＝CB＝CD＝3， ∴四边形BCD的面积为3××＝18． 故答案为：18． 6．如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为 　 　． 【答案】6 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝45°， ∴A，C，D，B四点共圆， 如图，作⊙O经过A，C，D，B四点， 当AD（D′）为直径时，AD有最大值， ∵∠ADC＝45°， ∴∠AOC＝90°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∵AC＝6， ∴AO＝6×＝3， ∴AD′＝2AO＝6，即AD的最大值为6． 故答案为：6． 7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且∠EDF＝90°，连接EF，则∠DEF的度数为　　． 【答案】45° 【解答】解：如图，连接AD， ∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°， 而∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴DE＝DF， 而∠EDF＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°． 故答案为：45°． 8．（2022秋•萧山区月考）如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝　30°　，若AC＝10，CD＝9，则BE＝　 　． 【答案】 【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°， ∴∠DBC＝∠DEC＝60°， ∴B、C、D、E四点共圆， ∴∠DBE＝∠DCE＝30°， ∴∠ABE＝30°， 设BC＝x，则AB＝