专题4 向量综合归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）

专题4 向量综合归类 目录 讲高考 1 题型全归纳 2 【题型一】向量夹角 2 【题型二】线性运算1：基底型基础 2 【题型三】线性运算2：双线交点型 3 【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型 5 【题型五】向量基底“象限坐标轴” 6 【题型七】向量最值 8 【题型八】数量积 9 【题型九】模及其应用 10 【题型十】投影 10 【题型十一】面积与奔驰定理 11 专题训练 13 讲高考 1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（福建·高考真题）已知，点C在内，且.设，则等于（    ） A． B．3 C． D． 3．（山东·高考真题）在直角中CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 6．（全国·高考真题）向量满足，且，则与夹角的余弦值等于___________． 题型全归纳 【题型一】向量夹角 【讲题型】 例题1.已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（       ） A． B． C． D． 例题2.已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【讲技巧】 求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； （2）坐标法：若非零向量、，则. 两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立 【练题型】 1.已知，，则向量与的夹角为（       ） A．90° B．60° C．30° D．0° 2.已知向量，满足，，，设与的夹角为，则 A． B． C． D． 3.已知两个单位向量，的夹角为，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【题型二】线性运算1：基底型基础 【讲题型】 例题1.在中，，，且，则（ ） A．1 B． C． D．-1 例题2.设为所在平面内一点，，为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【讲技巧】 用已知向量表示某一向量的两个关键点: (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． 【练题型】 1.设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为( ) A．1 B． C． D． 2.已知在中，点M在边BC上，且，点E在边AC上，且，则向量（ ） A． B． C． D． 3.已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，如果，，那么向量（　　） A． B． C． D． 【题型三】线性运算2：双线交点型 【讲题型】 例题1.如图，中，与交于，设，，，则为（ ） A． B． C． D． 例题2.在中，，，直线与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【讲技巧】 向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 【练题型】 1.中，、分别是、上的点，且，，与交于点，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 2.如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ） A． B． C． D． 3.在中，交于点F，则( ) A． B． C． D． 【题型四】线性运算3：“赵爽弦图”模型 【讲题型】 例题1.如图所示，在中，设，的中点为，的中点为，的中点恰为，则（） A． B． C． D． 例题2.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A． B． C． D． 【练题型】 1.如图是由等边△和等边△构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（ ） A． B． C． D． 2.如图，在