专题20空间角与空间距离问题C卷—2023届高考数学重难点二轮专题训练

专题20空间角与空间距离问题C卷 一、单选题 1. 如图，在直三棱柱中，，，点，分别是线段，的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 2. 如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且，当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．(    ) A. B. C. D. 3. 如图，四边形是矩形，，，是的中点，与交于点，平面，若，则直线与平面所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题 4. 如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是(    ) A. 几何体的外接球半径 B. 平面 C. 异面直线与所成角的正弦值的取值范围为 D. 面与底面所成角正弦值的取值范围为 5. 正方体的棱长为，点在线段上运动，则下列结论正确的是 A. 异面直线与所成的角为 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 二面角的正切值为 D. 直线与平面所成的角为 三、填空题 6. 在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，则点到平面的距离为           7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，，当直线与底面所成角为时，平面与平面的夹角的正弦值为          ． 四、解答题 8. 如图，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，，平面平面，点为线段上一点． 若，求证：平面平面； 求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 9. 如图，在几何体中，平面平面，四边形为矩形在四边形中，，，． 点在线段上，且，是否存在实数，使得若存在，求出的值若不存在，请说明理由． 点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 10. 如图，在体积为的四棱锥中，，，，，，． 证明：平面平面； 若点为棱上一动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 11. 三棱台中，为正三角形，，，，． 求证： 若二面角的平面角大小为，且在线段上有点使得平面平分四面体的体积，求与面所成角的正弦值． 答案和解析 1.【答案】  解：由题可得， 以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则 ， ， ， ， ， ，， ， ， 设平面的法向量 ， ， 则，即 取，得， 设平面的法向量， 则 取，得， 设平面的法向量， 则 取，得， 设平面的法向量， 则 取，得， 由图可知，，均为锐角， ， ，  ， ， ， 故选D．    2.【答案】  解：以为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 当，，、共面时， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又，则， 则有， 又，则点为中点， 可知点为中点， 故当，时，，，、 共面， 设平面的法向量为， ，，，，， ，， 则， 取，得， 设平面 的一个法向量为， ，， 则， 取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 故选B．    3.【答案】  解：四边形为矩形，∽，是的中点， 又矩形中，，，，． 在中，， 易知，． 在中，， ，． 平面，，平面，，． 、、两两垂直． 如图，以点为原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则，，， ，， 设是平面的法向量， 则 取，则， ， 设直线与平面所成角的大小为， 则，，直线与平面所成角的正弦值为． 故选B．    4.【答案】  解：几何体关于正方体的中心对称， 其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故A错误； 在正方体中， ，故四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面，故平面， 同理可证平面，而，平面，平面， 所以平面平面平面，则平面，故B正确； 由于，则直线与所成最大角为或， 其正弦值为直线与所成最小角为与平面所成角， 当为中点时，所成角即为， 而平面平面，故 ，  ， 故 ， 所以，异面直线与所成角的正弦值的取值范围为，故C正确； 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则 ，则， 设 ，则 ， 设平面的法向量为，则 令，则 ，故 ， 由题意知平面的法向量可取为 ，则 ， 则面与底面所成角正弦值为， 由于，故当时，取到最小值，则取到最小值为 ， 当或时，取最大值，取最大值为， 所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，故D错误． 故选BC．    5.【答案】  解：建立如图所示空间直角坐标系， 对于，，，异面直线与所成角的余弦值，所以异面直线与所成的角为，A错误． 对于，异面直线与所成角即为直线与直线所成角，易知为等边三角形，故当点位于或时，异面直线与所成角最小为位于线段的中点时，异面直线与所成角最大为，异面直线与所成角的取值范围是B正确． 对于，设平面的法向量为，，， ，取，得 平面的一个法向量为， ，由图可知二面角为锐角，故二面角的正切值为， C正确． 对于，，平面的一个法