6.3 空间向量的应用-2022-2023学年高二数学新教材同步题型+能力+素养练（苏教版2019选择性必修第二册）

§6.3 空间向量的应用 一维练基础 题型一：空间位置关系的向量证明 1．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】A 【点拨】根据向量的坐标可得，从而可判断线面关系. 【详解】由题设可得，故直线与平面垂直. 故选：A. 2．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】B 【点拨】利用数量积运算可证得法向量互相垂直，由此可得结论. 【详解】将平面的法向量记为，平面的法向量记为， ，，则. 故选：B. 3．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．平行或线在面内 【答案】A 【点拨】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直. 【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直. 故选：A. 4．已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】B 【点拨】由确定正确答案. 【详解】由于，即， 由于，所以. 故选：B 5．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则实数（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】B 【点拨】直接利用数量积为零计算即可. 【详解】若，则 则， 解得： 故选：B. 题型二：异面直线夹角的向量求法 1．在正方体中，P为的中点，则直线PC与所成的角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】建立空间直角坐标系，根据向量的夹角即可求线线角. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则： , 故, 因此, 设直线PC与所成的角为，则， 故选：D 2．在直三棱柱中， 侧棱长为4 ， 底面是边长为4的正三角形， 则异面直线 与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解夹角的余弦值. 【详解】由题意，取中点，建系如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以, 所以， 所以与所成角的余弦值为， 故选:C. 3．如图，平行六面体的底面是菱形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】求出即可求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题可设，则易知三个向量之间两两的数量积均为， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为0． 故选：D． 4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，.则直线与直线夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【点拨】由空间向量求解， 【详解】由题图知，A点的坐标为，B点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为. 所以，. 所以， 故选：A 5．已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】根据空间向量的夹角坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以，. 故选：C 题型三：空间两点之间距离和点到直线（平面）距离的向量求法 1．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【点拨】根据空间中点线距离的向量求法即可求解. 【详解】因为，所以的一个单位方向向量为. 因为，故，, 所以点到直线的距离为. 故选：A 2．已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B两点间的距离是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【点拨】求出AB对应的向量，然后用距离公式求出AB的距离即可． 【详解】因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2）， 所以＝（﹣3，0，﹣4），所以． 故选：D 3．如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式进行求解. 【详解】取AC的中点O，取中点D，连接OD，则平面ABC， 连接OB，因为是等边三角形， 所以， 因为平面ABC， 所以OB，AC，OD两两垂直， 所以以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，， 故， ， 点到直线的距离为. 故选：D 4．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【点拨】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可. 【详解】因为，点在平面内，点平面外， 所以点到平面的距离， 故选：B 5．已知为平面的一个法向量，为内的一