9.4 向量应用-2022-2023学年高一数学新教材同步题型+能力+素养练（苏教版2019必修第二册）

§9.4 向量应用 一维练基础 题型一：用向量证明线段垂直 1．在中，若，则的形状是（    ） A．为钝角的三角形 B．为直角的直角三角形 C．锐角三角形 D．为直角的直角三角形 【答案】D 【点拨】由条件求得，可得，故，由此可得的形状． 【详解】在中，，， ，则为直角三角形， 故选：D． 2．顶点为，，，则为（    ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【点拨】利用证得三角形是直角三角形. 【详解】依题意可知， ，与不恒等， 所以， 所以，所以三角形是直角三角形. 故选：A 3．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ） A． B． C．13 D．26 【答案】C 【点拨】根据判断AC与BD关系，根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半即可求解. 【详解】∵，∴AC⊥BD， 所以四边形ABCD面积为：. 故选：C. 4．已知，，三点，点使直线，且，则点D的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】先设点D的坐标，由题中条件，且，建立D点横纵坐标的方程，解方程即可求出结果. 【详解】设点,则由题意可得：,解得，所以D点坐标为. 5．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【点拨】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断； 【详解】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形， 又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形； 故选：C 题型二：用向量解决夹角问题 1．已知向量，则在方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】先得到，计算出与的夹角余弦值，和的模长，再由模长乘夹角余弦值，得到投影. 【详解】 ， 设与的夹角为，则 所求的在方向上的投影为= 故选B项. 2．在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 【点拨】由，可得，分析即得解 【详解】由题意， ，又 为钝角 则的形状是钝角三角形 故选：B 3．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________. 【答案】 【点拨】由与的夹角为锐角，故且与不共线，得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】因为与的夹角为锐角，则且与不共线（平行），则有，所以解得： 故答案为： 4．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________. 【答案】且 【点拨】根据与夹角为钝角列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】由于与夹角为钝角，所以， 解得且. 所以的取值范围是且. 故答案为：且 5．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【点拨】根据题意令，再排除与同向时的情况即可得解. 【详解】由，得. 当与同向时，，则. 故的取值范围为且. 故答案为： 题型三：平面向量在几何中的应用 1．已知是内的一点，且，若和 的面积分别为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可． 因为，， 所以 故选B． 2．若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 【答案】C 【解析】由题意可知，且，而对角线，由此可知四边形为等腰梯形． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是等腰梯形， 故选：C． 3．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】本题主要利用向量的线性运算和即可求解. 【详解】解：由题意得： 设，则 又由，不共线 ，解得： 故选：D 4．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ）． A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 【答案】B 【点拨】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，而这三个向量的方向不同，起点不同，所以它们只有模长相等的一个条件成立. 【详解】是正的中心， 向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的， 是正三角形的中心， 到三个顶点的距离相等， 即， 故选：B. 5．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【点拨】假设是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，求得点坐标，由此求得与的面积比. 【详解】假设是等腰直角三角形，且是直角，， 建立如图所示平面直角坐标系，设， 则,， 依题意， 即， ， . 所以与的面积比为. 故选：A 题型四：平