2023年九年级数学中考复习 正方形综合解答题 专题突破训练

2022-2023学年九年级数学中考复习《正方形综合解答题》专题突破训练(附答案) 1.如图,在正方形ABCD中,E是边CD上的一点,F是BD上的一点,且FE=FC. (1)请你判断FE是否可以由FA旋转得到,如果可以,请说明旋转方向和角度并证明;如果不可以,请说明理由; (2)若正方形的边长为6+6,∠BAF=30°. (i)求AF的长度; (ii)若AE与BD交于点G,求AG的长度. 2.如图,四边形ABCD是正方形,△AEF是等腰直角三角形,AE=AF,连接BF,将BF绕点B顺时针旋转90°得BG,连接DG,BE,DE. (1)求证:四边形BEDG是平行四边形; (2)若AE=,AB=4,将△AEF绕点A旋转一周,当四边形BEDG是特殊的平行四边形时,直接写出BF的长. 3.下面是八年级教科书中的一道题,相信同学们一定觉得很熟悉吧. 如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证:AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG.) (1)请你思考教科书中的“提示”,这样添加辅助线的意图是创造新的条件,可证明△ ≌△ ,从而可得AE=EF. (2)小东在九年级学习了旋转的相关知识后,发现此题也可通过旋转来证明,他的思路如下:可将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EM,并延长EM与AD交于点N.请同学们根据小东的思路在图2中画出图形,并写出证明过程. (3)小东进一步研究发现,他的思路还可以解决更一般的问题,如图3,当点E不再是边BC的中点,而是BC边上其他任意一点(不与B、C重合),其他条件不变时,依然可以证得AE=EF,请同学们在图3中画出图形,并写出证明过程. 4.已知,点E是正方形ABCD的边CD上一个动点,直线CF⊥BE于点F,连结AF. (1)如图1,点E运动到边CD的中点,求证:AF=AB; (2)如图2,△AFB的外接圆交BC于点G,连结FG,求证:△CFG∽△BFA; (3)如图3,已知正方形ABCD的边长为2,设CE=x,用y表示△AFB与△CFB的面积之和,求y关于x的函数解析式及其最大值. 5.四边形ABCD是边长为4的正方形,点E沿A→D→C路线向C点运动,连接BE,在BE的右侧以BE为腰作等腰直角三角形BEF,∠BEF=90°,BF交射线DC于点N. (1)如图1,点E在AD上时,EF交DC于点M,若DE=AD,请直接写出: ①点F到直线AD的距离; ②DM的长; (2)如图2,点E在DC上时, ①若DN=5,求DE的长; ②连接AF,请直接写出AF的最小值. 6.已知正方形ABCD,E是射线AB上一动点,连接EC,点F在直线CD上,且EF=EC,将EF绕点E顺时针旋转90°得到EG,过点C作EG的平行线,交射线AD于点H,连接HG. (1)如图1,当点E在AB中点时,D,F重合,请判断四边形HCEG的形状并证明你的结论; (2)如图2,当点E在AB延长线上时,补全图形并回答下列问题: ①四边形HCEG的形状是否发生改变,请说明理由; ②连接HE,交DC于点M,若MC=5,EF=,请直接写出ME的长. 7.【问题情境】 如图1,四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形,AB=1,点E在BC的延长线上,点G在CD的延长线上,分别连接对角线BD,EG,CE=BD.将正方形CEFG从图1的位置开始绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°<α≤180°) 【自主探究】 (1)小斌画出了旋转角α=45°时的情形(如图2),连接DG后,小斌发现四边形BCGD是平行四边形,请帮他证明这一结论; (2)小亮画出了旋转角0°<α≤90°时的某一情形(如图3),连接BG、DE,写出线段BG、DE的关系: . 【拓展延伸】 (3)如图4,小颖在正方形CEFG绕点G旋转过程中(0°<α≤180°),连接BE、BG,请你直接写出当△BEG为等腰三角形时BG2的值. 8.四边形ABCD为矩形,G为BC上任意一点,DE⊥AG于点E. (1)如图1,若四边形ABCD为正方形,BF⊥AG于F,求证:AF﹣BF=EF; (2)如图2,在(1)的条件下,AG=,BG=1,求EG的长; (3)如图3,连接EC,若CG=CD,DE=2,GE=1,请直接写出AD,CE的长度. 9.如图,在正方形ABCD中,点E在线段CB的延长线上,连接AE,并将线段AE绕点E顺时针旋转90°,得到线段FE,连接AF,BD,CF,线段AF与线段BD相交于点M. (1)请写出∠ECF的度数,并给出证明; (2)求证:点M是线段AF的中点; (3)直接写出线段CF,BM和AD的数量关系. 10.(1)如图1,等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上,斜边BF交CD于点Q,连接PQ,求