2021届天津市静海区第一中学高三下学期一模数学试卷

静海一中2020-2021第二学期高三一模 数学试卷 注意事项:本试卷分为第I卷和第II卷，试卷满分150分，考试时间120分钟。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 2. “”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在的图像大致为(    ) A. B. C. D. 4. 某校抽取名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于秒到秒之间，将测试结果分为五组：第一组，第二组，，第五组如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是(    ) A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 6. 若所有棱长都是的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是(    ) A. B. C. D. 7. 已知图象相邻的两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，给出下列命题： 函数的图象关于直线对称； 函数在上单调递增； 函数的图象关于点对称． 其中正确的命题个数为(    ) A. B. C. D. 8. 抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，，垂足为，若直线的斜率为，，则抛物线方程为(    ) A. B. C. D. 9. 已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 已知复数满足为虚数单位，则           11. 在的二项展开式中，只有第项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于__________． 12. 当时，的最小值为______ 13. 若圆，与圆：相交于，，则公共弦的长为__________． 14. 已知为等边三角形，，设点满足，其中，若，则___________． 15. 一个盒子里有个红个绿个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则 ______ ； ______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 本小题分 在中，内角、、的对边分别为、、，且． Ⅰ求的值； Ⅱ若，的面积为，求的周长． 17. 本小题分 如图，在三棱柱中，侧面，已知，，，是棱的中点． 求证：平面． 求二面角的余弦值． 在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 本小题分 已知数列的前项和为，且． 求数列的通项公式； 令，求数列的前项和； 记，是否存在实数使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 19. 本小题分 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． 求椭圆的方程； 过抛物线焦点的直线和抛物线相交于，两点，，求直线方程； 椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 20. 本小题分 设函数，． 求的单调区间和极值； 证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 数学 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2020-2021第二学期高三一模 数学答案和解析 一、选择题 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   二、填空题 10.   11.   12.   13.   14.   15.     三、解答题 16. 解：Ⅰ， ， ， 可得，即， ． Ⅱ由Ⅰ可得， 由正弦定理可得， ，的面积为， ，由，解得， 由可得，，或，不合题意，舍去 由余弦定理可得， 的周长．  17. 证明：，，， ， ，， 又侧面，侧面，， 又，、平面， 平面； 以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，； 则，，； 设平面的法向量为，则，即， 令，得，，所以； 设平面的法向量为，则，即 令，求得； ，， 二面角的余弦值为； 假设在棱上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为， 不妨设，； 又，； 即，所以； 所以，平面的法向量为； 则与平面所成角的正弦值为： ，， 化简得，解得或； 所以在棱上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为， 此时或．  18. 解：对任意的，． 当时，，即 当时，由可得， 两式作差得，即，