放缩法解（证）导数压轴题-2023届新高考二轮复习突破讲义

难点突破之—— 放缩法解(证)导数压轴题 一、导数黄金不等式： 1.（当且仅当时等号成立）； 2. （当且仅当时等号成立）； 3.； 4. 其中； 5. （当且仅当时等号成立）； 6. （当且仅当时等号成立）； 7.（当且仅当时等号成立）； 8. . 二、部分黄金不等式的证明 1.求证（当且仅当时等号成立）. 证明： 方法一、构造函数， ，， 当时，单调递减；当时，单调递增； 而，， 所以存在使得， 于是当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增； 而，所以时（当且仅当或时取等号）. 方法二、当时成立. 当时，构造函数，，其中 当时，单调递减；当时，单调递增； 于是，所以原不等式成立. 2.证明：. 证明：记 所以在上递增，而 所以时，从而递减；时，从而递增； 所以即 即原不等式成立. 三、应用举例 例1.证明：. 证明： 例2.设函数，证明： 证明：要证 即证 记，由得， 时，递减；时，递增； 所以，即 于是， （利用进行放缩） 两等号成立的条件不同 所以 故成立. 另证：(凸凹翻转) 由题意知等价于 设函数，则. 所以当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 从而在上的最小值为. 设，则 所以当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 从而在上的最大值为. 综上，当时，即. 例3.求证：时， 证明：令 （利用进行放缩） 记，则， 时，，而，故 所以在上递增，故 所以在上递增，故，即 所以在上递增， 而时， 所以时，，即 所以. 例4. 已知函数， (1)证明：当时，无零点； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 （1）先证明结论.令，.由得，由得.故在上递减，在上递增..得证. 当时，.故无零点. （2）由对任意实数恒成立，得 记，则. 而（利用进行放缩） 上述等号成立当且仅当.令，，则有解.所以.故. 例5.设函数. (1)若，求的单调区间； (2)若当时，求的取值范围. 【解析】(1) 时，， 当时，单调递减；当时，单调递增； 所以的减区间为，增区间为. (2). 由(1)知当时，当且仅当时等号成立. 故，从而当，即时，， 而，于是当时. 当时，由得， 于是 故当时，，而，于是时，， 综上知的取值范围为. 例6.【2020湖北省七市州3月调考】 已知函数，其中为自然对数的底数. (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，记，证明：. 【解析】（参变分离，利用两大基本放缩） 易证得， 由时恒成立有 记，则 . 例7.已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若是方程的两个不同的实数根，求证：. 【答案】 【解析】比值换元+均值放缩 (1)函数定义域为 当时，在上递增； 当时， ，，递增；，，递减； (2) 方程即，于是 不妨设，则 设，则，可得 要证 即证 即证 即证（利用进行放缩） 只要证 即证 令，则 故在递增 故 故原结论成立. 例8.已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)令，若存在，且时，，证明：. 【答案】 【解析】放缩+对数均值 (2)不妨设 即 令，，故在上单调递增， 故，即 故， 于是要证 只要证 只要证 即证 令，则即证，其中 令， 故，即 故. 三、通关练习(19题) 1.证明：当时恒成立. 证明：要证当时成立 只要证 即证 而（当且仅当等号成立）， （当且仅当等号成立）， 所以成立. 所以原结论成立. 2.证明：当时，. 证明：要证当时，成立 只要证 即证 而（当且仅当等号成立）， （当且仅当等号成立）， 所以成立. 所以原结论成立. 3.证明：. 证明： 4.证明：. 证明： 5.证明：. 证明：即证 而 所以成立. 6.已知函数，若，求证：. 证明：时 7.证明：当时， 证明：已知成立 于是要证 只要证 即证 记 所以在上递增，而 所以时，从而递减；时，从而递增； 所以即 即原不等式成立. 8.证明：当时，. 【解析】（放缩后再证） 已知时 于是要证 只要证 即证 记 ， 所以在时递增，而 所以时，从而递减；时，从而递增； 所以即 即原不等式成立. 另证：（直接证明） 记 所以在时递增，而 所以时，从而递减；时，从而递增； 所以即 所以原不等式成立. 9.已知函数，若时不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】 【解析】由时不等式对一切恒成立得 而 等号成立当且仅当 记， 所以使， 所以最小值为2 所以. 10.不等式对任意的恒成立，则的取值范围为_________. 【解析】由不等式对任意的恒成立得 而 等号成立当且仅当 记， 又 所以使， 所以最小值为 所以. 11. 已知函数， (1) 当时求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】(1) 时, 所以曲线在点处的切线方程为 即 (2)注