中篇 专题五 第二讲 圆锥曲线的方程与性质(小题)（Word教参）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二讲　圆锥曲线的方程与性质(小题) 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(0＜2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 提醒：利用椭圆、双曲线的定义解题时要注意两种曲线的定义形式及其限制条件． 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，再计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在坐标轴的位置；所谓“再计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　C　) A．13 B．12 C．9 D．6 解析：由题意知，a2＝9，b2＝4， 则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6， 所以|MF1||MF2|≤()2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立．所以|MF1||MF2|的最大值为9. 2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　C　) A．2 B．3 C．6 D．9 解析：设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋＝12，解得p＝6. 3．(2022·河北衡水中学模拟)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12π，则椭圆C的方程为(　A　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：由题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 因为椭圆C的离心率为，面积为12π， 所以解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 4．(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的标准方程为(　B　) A．＋y2＝1　　　　　 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a＞b＞0). 由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4A． ∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|， ∴|AB|＝|BF1|＝ |AF2|， ∴|AF1|＋3|AF2|＝4A． 又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a， ∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设点A(0，－b)， 由点F2(1，0)，|AF2|＝2|F2B|，得点B(，) . 由点B在椭圆上，得＋＝1， 得a2＝3，b2＝a2－c2＝2. ∴椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1. 5．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为____8____． 解析：因为P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝8，m2＋n2＝48， 所以64＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn，mn＝8，即四边形PF1QF2面积为8. 求圆锥曲线方程时的常见错误 双曲线定义中易忽略“绝对值”而致错；椭圆与双曲线中参数的关系弄混，椭圆中关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线方程时注意焦点的位置． 考点二 椭圆、双曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝. (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝. 2．双曲线的渐近线方程与焦点坐标 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0). (2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0, －c)，F2(0, c). 考向一　离心率问题 1．(2022·全国甲卷理)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　A　) A． B． C． D． 解析：方法一　设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以kAP·kAQ＝·＝＝(*).因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝(a