中篇 专题四 第二讲 立体几何(大题)（Word教参）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二讲　立体几何(大题) 考点一 空间位置关系与线面角问题 (2022·全国甲卷理)在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． (1)证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO， 则OB＝DC＝1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形． 又BC＝OB＝1， 所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD． 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD， 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA． (2)解：由(1)知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°， 所以三角形ADO为正三角形． 过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，－，0)，B(，，0)，P(0，0，)，D(0，0，0). 则＝(0，2，0)，＝(－，，)，＝(0，0，). 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2，0，1). 设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. 利用空间向量求线面角的解题策略 (2022·广东广州模拟)如图，已知四棱锥P­ABCD的底面为矩形，AB＝2，AD＝2，顶点P在底面ABCD的正投影为AD的中点O. (1)求证：平面PAC⊥平面POB； (2)若平面PAB与平面PCD的交线为l，PD＝2，求l与平面PAC所成角的大小． (1)证明：在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝， 在Rt△AOB中，tan ∠ABO＝，则∠ACB＝∠ABO， 于是∠ACB＋∠OBC＝，所以AC⊥BO， 因为PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则AC⊥PO； 又PO∩BO＝O，PO，OB⊂平面POB， 所以AC⊥平面POB， 而AC⊂平面PAC，所以PAC⊥平面POB． (2)解：因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD． 又平面PAB∩平面PCD＝l，AB⊂平面PCD，所以l∥AB． 则l与平面PAC所成角的正弦值等于AB与平面PAC所成角的正弦值． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，P(0，，)， B(2，0，0)，C(2，2，0)， 所以＝(0，，)，＝(2，2，0)，＝(2，0，0). 设平面PAC的一个法向量为n＝(x, y, z)， 则即即 令y＝1，得n＝(－， 1，－1). 设l与平面PAC所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝， 又因为θ∈， 所以l与平面PAC所成角为. 考点二 空间位置关系与二面角问题 (2022·新高考全国Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A­BD­C的正弦值． 解：(1)设点A到平面A1BC的距离为h， 因为直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为4， 所以VA­A1BC＝S△ABC×AA1＝VABC­A1B1C1＝， 又△A1BC的面积为2， VA­A1BC＝S△A1BCh＝×2h＝， 所以h＝，即点A到平面A1BC的距离为. (2)取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B， 因为平面A1BC⊥平面ABB1A1， 平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B， 所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC， 又AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC， 因为AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面ABB1A1， 所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB． 以B为坐标原点，分别以，，BB1的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz， 由(1)知，AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2， 因为△A1BC的面积为2， 所以2＝×A1B×BC，所以BC＝2， 所以A(0，2，0)，B(0，0，0)，C(2，0，0)， A1(0，2，2)，D(1，1，1)，E(0，1，1)， 则＝(1，1，1)，＝(0，2，0)， 设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得n＝(1，0，－1)， 又平面BDC的一个法向量为＝(0，－1，1)， 所以cos 〈，n〉＝＝＝－， 设二面角A­BD­C的平面角为θ， 则sin θ＝＝， 所以二面角A­BD­C的正弦值为. 利用空间向量求