中篇 专题三 第三讲 第2课时 概率、离散型随机变量及其分布列（Word教参）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第2课时　概率、离散型随机变量及其分布列 考点一 互斥、对立事件及相互独立事件的概率 (2022·河北保定模拟)某夜市街上有“十元套圈”小游戏，游戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客使用套圈所套得的奖品，即归顾客所有．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能使用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个游戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响． (1)求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率； (2)若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应该选择方案甲还是方案乙？ 解：(1)记小张分别在1，2，3三个区域套一次便能套中奖品为事件A，B，C， 则P(A)＝0.6，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1， P()＝0.4，P()＝0.8，P()＝0.9. 因为每次的结果互不影响，所以该顾客分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率 P()P()P()＋P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.824. (2)选择方案甲：X可能的取值为0, 5, 15, 20, 25, 35, 40， P(X＝0)＝P()P()P()＝0.288， P(X＝5)＝P(A)P()P()＝0.432， P(X＝15)＝P()P(B)P()＝0.072， P(X＝20)＝P()P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.14， P(X＝25)＝P(A)P()P(C)＝0.048， P(X＝35)＝P()P(B)P(C)＝0.008， P(X＝40)＝P(A)P(B)P(C)＝0.012， E(X)＝0×0.288＋5×0.432＋15×0.072＋20×0.14＋25×0.048＋35×0.008＋40×0.012＝8. 若小张选择方案乙，设他所获奖品的总件数为Z， 则Z～B(3，0.2)，Y＝15Z，E(Z)＝3×0.2＝0.6， E(Y)＝15E(Z)＝9， 因为E(Y)＞E(X)，所以小张应该选择方案乙． 破解此类问题的关键：一是认真读题，读懂题意；二是会判断事件的特征；三是会利用公式，即会利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式求事件的概率． 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． (1)求P(X＝2)； (2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率． 解：(1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5. (2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此事件“X＝4且甲获胜”的概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1. 考点二 随机变量的分布、期望及应用 考向1　随机变量的分布列与期望 (2022·北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明) 解：(1)设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A．因为比赛成绩达到9.50 m 以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖，甲以往的比赛成绩中达到9.50 m以上(含9.50 m)的有9.80 m，9.70 m，9.55 m，9.54 m，共4个， 所以甲在校运动会铅球比赛中获得