中篇 专题三 第三讲 第1课时 概率与统计的综合（Word教参）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第三讲　概率与统计(大题) 第1课时　概率与统计的综合 考点一 用样本估计总体 (2022·全国乙卷文)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 根部横截面积xi 材积量yi 1 0.04 0.25 2 0.06 0.40 3 0.04 0.22 4 0.08 0.54 5 0.08 0.51 6 0.05 0.34 7 0.05 0.36 8 0.07 0.46 9 0.07 0.42 10 0.06 0.40 总和 0.6 3.9 并计算得＝0.038，＝1.615 8，iyi＝0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r＝，≈1.377. 解：(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积 ＝＝＝0.06(m2)， 估计该林区这种树木平均一棵的材积量 ＝＝＝0.39(m3). (2)(xi－)(yi－)＝iyi－10 ＝0.013 4， (xi－)2＝－10()2＝0.002， (yi－)2＝－10()2＝0.094 8， 所以 ＝ ＝≈0.01×1.377＝0.013 77， 所以样本相关系数r＝≈≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以＝， 所以Y＝＝1 209， 即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3. 利用样本的数字特征解决优化问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． (2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？ 解：(1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为 利润 65 25 －5 －75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 ＝15. 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为 利润 70 30 0 －70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 ＝10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务． 考点二 经验回归分析与概率、统计的交汇问题 (2022·河北唐山模拟)某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997—2016年的国内生产总值(GDP)进行统计研究，作出了两张散点图： 图1表示1997—2016年我国的国内生产总值(GDP)，图2表示2007—2016年我国的国内生产总值(GDP). (1)用ri(i＝1, 2)表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，ri∈{0.964 7, 0.998 0}，依据散点图的特征分别写出ri的结果； (2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——决定系数R