上篇 基础考点三 计数原理（Word教参）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

基础考点三　计数原理 排列、组合是高考常考内容，一般是结合排列、组合知识计算古典概型，有时也单独命题；二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度中低档． 1．(2022·新高考全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　B　) A．12种　　　B．24种　　　C．36种　　　D．48种 解析：先将丙和丁捆在一起有A种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A种排列方式，最后将甲插入中间两空，有C种排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24种． 2．(2020·新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　C　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 解析：先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有CCC＝60种不同的安排方法． 3．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　B　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 解析：方法一(赋值法)　依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，所以a0＋a2＋a4＝41. 方法二(通项公式法)　二项式(2x－1)4的通项为Tr＋1＝C(2x)4－r(－1)r，分别令r＝4，2，0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝16，所以a0＋a2＋a4＝41. 4．(2020·全国Ⅰ卷)(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：方法一　∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，∴x3y3的系数为10＋5＝15. 方法二　当x＋中取x时，x3y3的系数为C，当x＋中取时，x3y3的系数为C，∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15. 5．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　A　) A．12 B．16 C．20 D．24 解析：方法一　(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C＋2C＝12. 方法二　∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12. 6．(2018·全国卷Ⅲ)(x2＋)5的展开式中x4的系数为(　C　) A．10 B．20 C．40 D．80 解析：的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C(x2)5－r＝C2rx10－3r(r＝0，1，2，…，5)， 令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C22＝40. 7．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 解析：因为x3y3＝x(x2y3)，其系数为－C22＝－40，x3y3＝y(x3y2)，其系数为C23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40. 8．(2018·全国Ⅱ卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　C　) A． B． C． D． 解析：不超过30的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C＝45种情况，而和为30的有7＋23，11＋19，13＋17这3种情况， ∴所求概率为＝. 9．(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　D　) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 解析：由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA＝36(种)，或CCC＝3××2＝36(种). 10．(2020·全国卷Ⅲ)的展开式中常数项是____240____．(用数字作答) 解析：的展开式的通项为 Tr＋1＝C(x2)6－r＝C2rx12－3r(r＝0，1，2，…，6)， 令12－3r＝0，得r＝4，得常数项为C24＝240. 11．(2022