新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题

乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年 高二上学期期末考试 数学试题 (考试范围:选择性必修一全册) 总分150分 考试时间120分钟 一、选择题(12题每题5分共60分) 1.设、分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 2.已知F是椭圆的左焦点,P为椭圆C上任意一点,点Q坐标为,则的最大值为( ) A.3 B.5 C. D.13 3.如图,在斜棱柱中,AC与BD的交点为点M,,,,则( ) A. B. C. D. 4.已知边长为2的等边三角形,是平面内一点,且满足,则三角形面积的最小值是( ) A. B. C. D. 5.在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为( ) A. B. C. D. 6.设、,向量,,且,,则( ) A. B. C. D. 7.若圆上总存在两个点到点的距离为2,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知椭圆上存在点,使得,其中,分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.如果且,那么直线不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.已知直线经过点,且与圆相切,则的方程为( ) A. B. C. D. 11.空间四边形中,点在上,且, 为中点,则等于( ) A. B. C. D. 12.已知两点到直线的距离相等,则( ) A.2 B. C.2或 D.2或 二、填空题(5题每题5分共25分) 13.如图,边长为的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直,动点、分别在正方形对角线和上移动,且.则下列结论: ①长度的最小值为; ②当时,与相交; ③始终与平面平行; ④当时,为直二面角. 正确的序号是_. 14.过四点中的三点的一个圆的方程为_. 15.已知圆与圆外切,此时直线被圆所截的弦长_. 16.在平面内,一只蚂蚁从点出发,爬到轴后又爬到圆上,则它爬到的最短路程是_. 17.直线被圆O;截得的弦长最短,则实数m=_. 三、解答题(共65分) 18.已知直线和直线. (1)当m为何值时,直线和平行?(7分) (2)当m为何值时,直线和重合?(8分) 19.已知圆与圆. (1)求证:圆与圆相交;(8分) (2)求两圆公共弦所在直线的方程;(8分) 20.如图,在四棱锥P−ABCD中,ADBC, E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为 . (1)在平面PAB内是否存在一点M,使得直线CM平面PBE,如果存在,请确定点M的位置,如果不存在,请说明理由;(8分) (2)若二面角P−CD−A的大小为 ,求P到直线CE的距离.(9分) 21.某校积极开展社团活动,在一次社团活动过程中,一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体,于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题,如图1,分别是正方形的三边的中点,先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉,再将剩下的五边形沿着线段折起,连接就得到了一个“刍甍”(如图2). (1)若是四边形对角线的交点,求证:∥平面(8分) (2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.(9分) 答案解析: 1.D 【分析】根据题设条件和双曲线的性质,在三角形值寻找等量关系,得到之间的等量关系,进而求出离心率. 【解析】依题意,可知三角形是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,由勾股定理知可知, 根据双曲定义可知,整理得, 代入整理得,求得; ∴. 故选:D. 【注意】关键点注意:该题考查的是有关双曲线的离心率问题,正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质,以及寻找判断三角形中边的关系. 2.B 【分析】由,结合图形即得. 【解析】因为椭圆, 所以,, 则椭圆的右焦点为, 由椭圆的定义得:, 当点P在点处,取等号, 所以的最大值为5, 故选:B. 3.A 【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得. 【解析】-=, . 故选:A. 4.A 【分析】建立直角坐标系,设,写出的坐标,利用列式得关于的等式,可得点的轨迹为以为圆心,以为半径的圆,写出直线的方程,计算和点距离直线的最小距离,代入三角形面积公式计算. 【解析】以的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系,则,,, 设,因为,所以,得, 所以点的轨迹为以为圆心,以为半径的圆,当点距离直线距离最大时,面积最大,已知直线的方程为:,,点距离直线的最小距离为:,所以面积的最小值为. 故选:A 5.D 【分析】平移直线至,将直线与所成的角转化为与所成的角,解三角形即可. 【解析】 如图,连接,因为∥, 所以或其补角为直线与所成的角, 因为平面,所以,又,, 所以平面,所以, 设正方体棱长为2,则, ,所以. 故选:D 6.D 【分