专题06 二次函数与线段最值问题-2023年中考数学重难点题型之二次函数（全国通用）

专题06 二次函数与线段最值问题 解题点拨 知识要点1：平面内任意两点距离公式 若 则或 知识要点2：平面直角坐标系中构造相似 借助平面直角坐标系的直角特点，作平行线或垂线，构造出“A”“X”型相似或“一线三垂直”型相似以及“反A”和蝶形相似，利用相似比转化，列出数量关系求解。 知识要点3：铅垂线最值 如图，x轴为水平线，PD⊥X轴于E，PD叫铅垂线。 铅垂线最值一般解法为：一设（设出P点坐标并表示出D点）；二列（表示出PD长度）；三配（把PD的长度看做关于点P横坐标的二次函数，配方求最值） 直击中考 1．（2022·湖北武汉·统考中考真题）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点． (1)直接写出A，两点的坐标； (2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标； (3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． 2．（2022·山东聊城·统考三模）如如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)点M为抛物线上的点，当时，求点M的坐标． 3．（2022·广西百色·统考一模）如图，已知抛物线与一直线相交于A(-1，0)，B(2，3)两点，抛物线的顶点为M． (1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标； (2)若C是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，设点C的横坐标为t，过点C作y轴的平行线交AB与D，当t为何值时，线段CD的长最大，并求其最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线AB相交于点N，E为直线AB上的任意一点，过点E作EFAB交抛物线于点F，以M，N，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 4．（2022·广西百色·统考二模）如图，抛物线与轴交于A（），B（4，0），过点A的直线与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥轴于点D，交直线AC于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线AC的下方，且时，求点P的坐标； (3)当直线PD为时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由． 5．（2022·甘肃庆阳·统考二模）如图，二次函数的图象交x轴于，B两点，交y轴于点C，且OB＝OC． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点D是y轴右侧抛物线上一点（D不与B重合），过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，交直线BC于点F，若DF＝2EF，求点D的坐标； (3)在（1）的条件下，平面内是否存在点G，使得以点B，C，D，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十九中学校校考模拟预测）如图，抛物线交x轴于A、B，交y轴于点C，点D为抛物线第三象限上一点，且∠BOD＝135°，OD＝， (1)求a的值； (2)点P为第一象限抛物线上一点，连接PD，交y轴于点E，过点P作PF⊥y轴，垂足为F，求的值； (3)在（2）的条件下，连接PB，若PE＋PB＝DE，求点P的坐标． 7．（2022·四川自贡·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？ (3)点P在第四象限的抛物线上移动，以PC为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过点E时，求出此时点P的坐标． 8．（2022·山东泰安·统考中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 9．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． (3)动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点