2023年北京大学物理学科卓越人才培养计划数学试题

2023年北京大学物理学科卓越人才培养计划数学试题 1.已知个整数使，求的最小值. 所以的最小值为3. 2.设，求所有的正整数大于，使是一个常值函数. 3. 对任意的有，且为单调递增的正整数数列，求． 4. 从等差数列中抽取个数，使得它们的倒数和为1，求的最小值. 5.（1）证明：对任意无理数，存在无数个有理数使得． （2）证明：对无理数和任意的整数和，都存在使得． 2023年北京大学物理学科卓越人才培养计划数学试题解析 1.解：显然，若，则 ， 于是 故 由于且，从而，注意到 于是只能是1，，经检验，均不合题意. 当时，我们有 2. 3. 4.解： 5. 学科网（北京）股份有限公司 $2023 年北京大学物理学科卓越人才培养计划数学试题 1.已知n 个整数使 3 3 31 2 2008nx x x+ + + = ，求 n 的最小值. 所以 n 的最小值为 3. 2.设 sin ( ) cos ( )( ) k k k x xf x k + = ，求所有的正整数 n 大于m ，使 ( ) ( )n mf x f x− 是一个常值 函数. 3. 对任意的n 有 3 nn a n= ，且 na 为单调递增的正整数数列，求 2022a ． 4. 从等差数列 2,5,8,11中抽取 k 个数，使得它们的倒数和为 1，求 k 的最小值. 5.（1）证明：对任意无理数ω，存在无数个有理数 p q 使得 2 1p q q ω − < ． （2）证明：对无理数 5 1= 2 ω − 和任意的整数 p 和 q ，都存在 1c > 使得 2 1p q cq ω − < ． 2023 年北京大学物理学科卓越人才培养计划数学试题解析 1.解：显然 1n ≠ ，若 3 31 2 2008x x+ = ，则 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 3 2008x x x x x x + + − =  ， 于是 3 1 2( ) 2008 1(mod3),x x+ ≡ ≡ 故 1 2( ) 1(mod3)x x+ ≡ 由于 3 1 2( ) 2008=2 251x x+ × 且 3 3 1 2 1 2 1 2 1 22 0x x x x x x x x+ − ≥ − > ，从而 1 2+ 0x x > ，注意 到 2 251 1(mod3)≡ ≡ − 于是 1 2+x x 只能是 1， 2 32 2 251,2 251× ×， ，经检验，均不合题意. 当 =3n 时，我们有 3 3 310 +10 +2 =2008 2. 3. 4.解： 5.