专题13 函数与方程-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题13 函数与方程 【题型归纳目录】 题型一：求函数的零点或零点所在区间 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型四：分段函数的零点问题 题型五：等高线问题 题型六：二分法 【考点预测】 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【方法技巧与总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 【典例例题】 题型一：求函数的零点或零点所在区间 【方法技巧与总结】 求函数零点的方法： （1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数. 例1．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的零点是（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【解析】当时，，解得 当时，，解得 所以函数的零点为： 故选：B 例2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（    ） A．0， B．0， C．0，2 D．2， 【答案】A 【解析】因为函数的零点为2，所以， ∵，，∴，∴． 令，得或． 故选：A. 例3．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（    ） A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0） 【答案】A 【解析】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1． 故选：A． 变式1．（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，因为，， 由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为 故选：C 变式2．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数在 上单调递增，且在上连续. 因为，， 所以， 所以函数的零点所在的区间是. 故选：B 变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点在区间上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且在上单调递增，故其至多一个零点； 又，，故的零点在区间，故. 故选：． 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 【方法技巧与总结】 本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解. 例4．（2023·全国·高三专题练习）函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，函数为常函数，没有零点，不满足题意， 所以为一次函数， 因为在内恰有一个零点， 所以，即，解得或. 故的取值范围是. 故选：C 例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，恰有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得： 作出函数的图象，如图所示，由，得，则直线与的图象恰有两个交点，数形结合得的取值范围是. 故选：B 例6．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的方程有两个不相等的实根、，且满足，则实数t的取值范围是（    ） A．（2，5） B． C． D． 【答案】B 【解析】令，且， 所以只需满足且即可， 即且，解得， 故选:B. 变式4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的零点所在的区间为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数在上单调递增，且函数零点所在的区间为，所以，解得． 故选：C 变式5．（2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－