专题14 空间几何体的结构、面积与体积（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题14空间几何体的结构、面积与体积（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（    ） A．23 B．24 C．26 D．27 2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 3.（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 （1）以几何体的结构特征为基础，考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况. （2）与立体几何相关的“数学文化”、实际问题等相结合，考查数学应用. （3）几何体的表面积与体积是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想． （4）以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属于基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第（1）问，第（2）问则考查几何体面积、体积的计算. （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 几何体的面积计算 【核心知识】 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 【典例分析】 典例1.（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 典例2.（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（    ） A．24 B．44 C． D． 典例3.（2021·全国·高考真题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 【规律方法】 1.几类空间几何体表面积的求法 (1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和． (3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补． 2.计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 考向二 几何体的体积计算 【核心知识】 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积 正方体的体积 【典例分析】 典例4.（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ） A． B． C． D． 典例5.（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ） A． B． C． D． 典例6.（多选题）（2022秋·河北张家口·高三统考期末）正方体的棱长为2,分别为,,的中点,则（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 【总结提升】 求空间几何体体积的常用方法 （1）公式法:对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解. （2）割补法: 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. （3）等体积法:一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.当一个几何体的底面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化法或等积变形法，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积. 考向三 多面体与球相关面积、体积计算 【核心知识】 (1)正方体的棱