专题05 定角定高（知识解读）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

学科网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题05定角定高（知识解读） 【专题说明】 定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。 此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应 用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就 在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距≥定高”求出半径的最小值， 那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形 圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值， 找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解 【方法技巧】 1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC 外一点A,A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。 又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。 2辅助线作法： ①作△ABC的外接圆⊙O: ②连接OB,OC,作OM⊥BC 3.说理证明： ①易证∠BAC=∠BOM=a,OC=OB=OA=r: M H ②在Ri△BOM中，BM=rsina,OM=rcosa: AH⊥BC,∴.OM+OA2AH, .'.rcosc+rh, ..r2 1+cos0 2hsina .BC=2BM 2rsin a2 1+cosc 学科网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 解决问题的策略：定角夹定高、作三角形外接圆、三角函数转化为半径最值、等 腰时取到最值关键步骤： 1作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r,用含r的代数式表示圆心距及 底边长： 2.根据“半径+弦心距≥定高”求r的取值范围： 3求出底边的范围，计算面积最小值。 【典例分析】 【典例1】辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段AB,以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形： (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=60°，CD为AB边上的高，若CD=4, 试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明 理由： (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草， 在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6N2,点E、 F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存 在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由 D 图① 图② 图3 学科呵 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD⊥BC于点D,且AD=4, 则△ABC面积的最小值为 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC边上的高AD=6,则△ABC 周长的最小值为 B 【变式1-3】如图，正方形ABCD的边长为6，点E,F分别是CD,BC边上的 点，且∠E4F=45°，则△4EF面积的最小值 、 E B 【变式1-4】(2019·新城区校级一模)问题提出： 如图1：在△4BC中，BC=10且∠B4C=45°，点O为△4BC的外心，则△ ABC的外接圆半径是 问题探究： 如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF=45°， 请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由. 问题解决： 学利四 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 如图3，四边形ABCD中，AB=AD=4W2,∠B=45°，∠D=135°，点E、 F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠E4F=∠C=60°，试问△AEF的面 积是否存在最小值？若存在，请求出最小值.若不存在，请说明理由 D D E E 图1 图2 图3 4学科呵 学科网原创，让学司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题05定角定高（知识解读） 【专题说明】 定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。 此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应 用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键就 在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距≥定高”求出半径的最小值， 那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形 圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值， 找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解 【方法技巧】 1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC 外一点A,A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。 又因为，像探照灯一样所以也叫