重难点1-2 一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

重难点1-2 一元二次不等式恒成立与能成立问题5大题型 不等式是高考数学的重要内容。其中，“含参不等式恒成立与能成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐。另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维灵活性、创造性都有这独到的作用。一元二次不等式应用广泛，考察灵活，高考复习过程要注重知识与方法的灵活运用。 一、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)； 方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为， 则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即. 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。 四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 2、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒. 【题型1 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题】 【例1】（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）使得不等式对恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若命题“关于x的不等式对一切实数x恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是____________． 【变式1-3】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是_____________． 【变式1-4】（2022秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为_________． 【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 【例2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第三十一中学校考开学考试）已知不等式的解集，若对任意，不等式恒成立．则的取值范围是__________． 【变式2-1】（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知关于x的不等式的解集为A，设，，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·河南·高三期末）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数，不等式的解集为． （1）求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【变式2-4】（2021秋·陕西西安·高三校考阶段练习）已知二次函数满足，，且的最大值是8. （1）试确定该二次函数的解析式； （2）在区间上恒成立，试求的取值范围. 【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 【例3】（2021·吉林松原·校考三模）若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式3-4】（2021·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）设函数． （1）若对于，恒成立，求的取值范围； （2）若对于，恒成立，求的取值范围． 【题型4 一元二次不等式在实数集上的有解问