导数常用公式及知识点总结-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数及其应用知识点总结 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：（函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率） ＝ 记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝ . (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 区分： “在”点处的切线：-----切点 1 斜率＝ ②切线 “过”点的切线：----不一定是切点 ①设切点； ②写切线方程； ③代点可得：上； ④解得，回代②得切线. (3)函数f(x)的导函数：f′(x)＝ 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；特别的 [cf(x)]′＝cf′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 5．函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数． 求函数的单调区间的具体步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根； (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由f′(x)的正负确定f(x)在相应子区间上的单调性． 注：(1)研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)f′(x)>0(<0)在区间(a，b)上成立是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分条件． (3)f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)f′(x)≥0(≤0)在区间(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. 6．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) ； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3) 列表（分区讨论单调性和极值点）：用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值； 注：给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化 7．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值的步骤： ①讨论单调区间； ②判断极值； ③极值与闭区间端点的函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 注：(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(