第五章 一元函数的导数及其应用 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（人教A版）

章末总结 知识辨析:判断对错.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　) (2)f′(x0)=[f(x0)]′.(　　) (3)f(x)在某点处的切线与f(x)过某点处的切线意义相同.(　　) (4)若f(x)=2x,则f′(x)=x·2x-1.(　　) (5)在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(　　) (6)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则 f(x)在定义域上一定单调递增.(　　) (7)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　) (8)函数的极小值一定不是函数的最大值.(　　) (9)函数y=f′(x)的零点是函数y=f(x)的极值点.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×　(7)×　(8)√　(9)× 题型一　导数的计算及几何意义 [例1] (1)(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为(　　) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 (2)(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=　　　　　　.  (3)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为　　　　.  解析:(1)因为f(x)=x4-2x3, 所以f′(x)=4x3-6x2,所以f′(1)=-2, 又f(1)=1-2=-1, 所以所求的切线方程为y+1=-2(x-1), 即y=-2x+1.故选B. (2)由于f′(x)=, 故f′(1)==,解得a=1. (3)设切点坐标为(x0,ln x0+x0+1). 由题意得y′=+1, 则该切线的斜率k=(+1)|=+1=2, 解得x0=1, 所以切点坐标为(1,2), 所以该切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 答案:(1)B　(2)1　(3)y=2x (1)导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点. (2)围绕着切点有三个等量关系:①切点在曲线上 y0=f(x0);②切点在切线上;③导数即斜率k=f′(x0),在求解参数问题中经常用到. 跟踪训练 1.(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则(　　) A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea 解析:设切点(x0,y0),y0>0,则切线方程为y-b=(x-a),由 得(1-x0+a)=b,则由题意知关于x0的方程(1-x0+a)=b有两个不同的解.设f(x)=ex(1-x+a),则f′(x)=ex(1-x+a)-ex=-ex(x-a),由 f′(x)=0得x=a,所以当x<a时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>a时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(a)=ea(1-a+a)=ea,当x<a时,a-x>0,所以f(x)>0,当x→-∞时,f(x)→0,当x→+∞时,f(x)→-∞,函数f(x)=ex(1-x+a)的大致图象如图所示. 因为f(x)的图象与直线y=b有两个交点,所以 0<b<ea.故选D. 2.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　　　.  解析:y′=3(x2+3x+1)ex, 故切线斜率k=y′|x=0=3,故切线方程为y=3x. 答案:y=3x 3.(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　.  解析:设A(m,n),则曲线y=ln x在点A处的切线方程为y-n=(x-m). 又切线过点(-e,-1),所以n+1=(m+e). 再由n=ln m,解得m=e,n=1. 故点A的坐标为(e,1). 答案:(e,1) 题型二　函数的单调性与导数 [例2] (2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=2ln x+1. (1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围; (2)设a>0,讨论函数g(x)=的单调性. 解:设h(x)=f(x)-2x-c, 则h(x)=2ln x-2x+1-c, 其定义域为(0,+∞),h′(x)=-2. (1)当0<x<1时,h′(x)>0; 当x>1时,h′(x)<0. 所以h(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,+∞)单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1