第六章 平面向量及其应用（章末小结）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

章末小结 必修第二册 第六章《平面向量及其应用》 1 知识网络 知识网络 本章学习目标 (1)理解平面向量的相关概念和定理； (2)掌握平面向量的运算法则、运算律，能进行加法、减法、数乘、数量积的混合运算和坐标运算； (3)能用正弦定理、余弦定理解三角形，并通过边角互化解决问题； (4)会用向量的基底法和坐标法，了解向量在物理中的应用. 知识梳理——1.平面向量相关概念 (1)数学中，既有大小又有方向的量叫做向量。 (2)向量用有向线段表示。 B A (3)向量的表示： (4)向量的模： (5)零向量： (6)单位向量： 知识梳理——1.平面向量相关概念 (7)相等向量：长度相等且方向相同的向量。 注：向量由模和方向确定，与起点无关. (8)平行向量：方向相同或相反的非零向量。 规定：零向量与任意向量平行. 注：①平行向量都可平移到同一条直线上，平行向量也叫共线向量。 ②两个平行向量所在直线可能平行或重合. 知识梳理——1.平面向量相关概念 (9)相反向量：长度相等但方向相反的向量。 零向量的相反向量仍为零向量. (10)投影向量： 求投影向量“三步曲”： 画图找投影，算模长比，定± 知识梳理——2.平面向量的运算 (1)向量加法的三角形法则： 首尾相接，和向量由起点指向终点. (2)向量加法的平行四边形法则： 同起点，和向量由起点指向对角线端点 适用于不共线的向量求和. 适用于任意向量求和. 推广：n个首尾相接的向量相加，其和向量为首向量的起点指向末向量的终点. 知识梳理——2.平面向量的运算 向量加法的运算律： 注：多个向量的加法运算可按照任意次序、任意组合进行。 (3)向量减法的三角形法则： 同起点，差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量 知识梳理——2.平面向量的运算 知识梳理——2.平面向量的运算 (4)向量的数乘运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，其结果仍为向量. 知识梳理——2.平面向量的运算 (5)向量的数量积运算： 找两向量夹角时要先保证向量同起点. ③向量的数量积是实数；“·”不可省略. cosθ=1 cosθ=-1 知识梳理——2.平面向量的运算 (5)向量的数量积运算： 知识梳理——2.平面向量的运算 向量的数量积运算的运算律： 知识梳理——2.平面向量的运算 (6)向量的坐标运算 知识梳理——2.平面向量的运算 (6)向量的坐标运算 终点－起点 知识梳理——2.平面向量的运算 (6)向量的坐标运算 知识梳理——3.平面向量的相关定理 (1)共线向量定理： 知识梳理——3.平面向量的相关定理 (2)平面向量基本定理： 不共线 知识梳理——4.平面向量的应用 (1)平面向量在平面几何中的应用： ①基底法:题中涉及的向量用合适的基底(尽量知道模和夹角)表示 几何元素 平面向量 几何关系 运算 翻译 表示 ②坐标法：题中涉及的向量建系后用坐标表示并计算 知识梳理——4.平面向量的应用 (2)平面向量在物理中的应用： ①力的合成:向量加法的平行四边形法则 ②速度的合成:向量加法的平行四边形法则 ③力做功:向量的数量积运算 知识梳理——4.平面向量的应用 (3)余弦定理： 作用1：知两边及夹角求第三边 推论： 作用2：知三边求任一角 将SAS数量化 将SSS数量化 作用3：定形状 知识梳理——4.平面向量的应用 (4)正弦定理： 1.变形： 应用：求周长or各边和的范围 2.作用：①知两边及其中一边的对角求其它 ②知两角一边求其它 知识梳理——4.平面向量的应用 角化边 (4)正弦定理： 3.思想：边角互化 边化角:等式左右为a,b,c的齐次式 角化边:等式左右为sinA,sinB,sinC的齐次式 4.常见易错结论 知识梳理——5.三角形各心的向量性质 方法与易错归纳 1.判断一个量是否为向量的关键：看它是否具备向量的两要素. (1)有大小；(2)有方向． 向量书写时要注意起点和终点的不同； 字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头． 2.理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的核心是方向没有限制，长度是0， 规定零向量与任一向量共线． (2)任意两个单位向量不一定相等，但是模都为1. 单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在 平面内形成一个单位圆． 方法与易错归纳 3.相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量长度相等的向量， 再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量平行或共线的线段， 再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的 终点为起点，起点为终点的向量． 提醒：在与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量． 方法与易错归纳 4.作向量和时法则的选取策略 (1)三角形法则可推广