第六章 平面向量及其应用 章末题型归纳总结-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：向量的线性运算 经典题型二：向量的数量积运算、夹角、模长 经典题型三：向量范围与最值问题 经典题型四：余弦定理、正弦定理 经典题型五：平面向量的实际应用 经典题型六：解三角形范围与最值问题 经典题型七：图形类问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：向量的线性运算 例1．（2023·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知，＝﹣ ＝＝ =. 故选：C. 例2．（2023春·广西南宁·高一校考阶段练习）在中，点满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意如下图所示： 根据向量加法法则可知，又，所以 即， 可得. 故选：A 例3．（2023春·广西玉林·高一校考阶段练习）在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A，，不可以作为基底，A错误； 对于B，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，B正确； 对于C，，共线，不可以作为基底，C错误； 对于D，，共线，不可以作为基底，D错误. 故选：B. 例4．（2023春·广西桂林·高一校考期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以和共线，则这组向量不能作为平面内的一组基底，故A正确； 对于B，假设和共线，则，故， 所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立， 则和能作为平面内的一组基底，故B错误； 对于C，假设和共线，则，即， 由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立， 则和能作为平面内的一组基底，故C错误； 对于D，假设和共线，则，即， 由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立， 则和能作为平面内的一组基底，故D错误. 故选：A. 例5．（2023春·湖南株洲·高一校联考期中）在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平行四边形的对角线与交于点，如图， 则，而点为的中点， 有，由得：， 则有， 所以. 故选：C 例6．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）如图，在平行四边形中，设．试用求表示及． 【解析】在平行四边形中,, 所以 进而得 例7．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，，．设，． (1)用，表示，； (2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线． 【解析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，可得. . （2）证明：由（1）知，，所以， 所以， 所以，，共线. 又直线，直线有公共点， 所以，，，三点共线. 例8．（2023·高一课时练习）如图，在任意四边形ABCD中， （1）已知E､F分别是AD､BC的中点求证：. （2）已知，用，表示向量. 【解析】（1）证明：因为E､F分别是AD､BC的中点，所以，， 由题意，， 两式相加得， 即； （2）因为，所以， 所以. 例9．（2023·高一课时练习）如图，三点不共线，，，设，. （1）试用表示向量； （2）设线段的中点分别为，试证明三点共线. 【解析】（1），，三点共线， ，① 同理，，，三点共线，可得，② 比较①，②，得解得，， ． （2），，， ，， ， ，，三点共线． 例10．（2023·高一单元测试）（Ⅰ）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：. （Ⅱ）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由于三点共线，所以存在实数使得： ，即 化简为 结论得证. （Ⅱ）连结，因为为的重心， 所以： 又因为， 所以 由（Ⅰ）知： 所以为定值. 例11．（2023秋·辽宁大连·高一统考期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 【解析】（1）在中，由, 又， 所以， 所以 （2）因为， 又， 所以，， 所以， 又三点共线，且在线外， 所以有：， 即. 例12．（2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）设G为的重心，过点