第3章 命题点10 二次函数的图象与性质(精讲册)-【一战成名】2023河南中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·河南数学 命题点１０　二次函数的图象与性质 （１０年８考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 １．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的 关系； ２．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值． 要点归纳 １．定义：形如ｙ＝　ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ　（ａ，ｂ，ｃ为常数，且ａ≠０）的函数是二次函数． ２．二次函数的基本性质（二次函数图象抛物线） 最简形式： ｙ＝ａｘ２ 顶点式： ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ 一般式： ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ 交点式： ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２） 图象开口 ａ＞０时，开口　向上　；ａ＜０时，开口　向下　 对称轴 　ｙ轴　 直线　ｘ＝ｈ　 直线　　　　　　 直线　　　　　　 顶点 　（０，０）　 　（ｈ，ｋ）　 　　　　　　 最 值 ａ＞０ 当ｘ＝　０　时 有最　小　值 　０　 当ｘ＝　ｈ　时有最 　小　值　ｋ　 当ｘ＝　　　　时有最 　小　值　　　　　 当ｘ＝　　　　　时 有最　小　值 ａ＜０ 当ｘ＝　０　时 有最　大　值 　０　 当ｘ＝　ｈ　时有最 　大　值　ｋ　 当ｘ＝　　　　时有最 　大　值　　　　　 当ｘ＝　　　　　时 有最　大　值 增 减 性 ａ＞０ 在对称轴左侧ｙ随ｘ的增大而　减小　，在对称轴右侧ｙ随ｘ增大而　增大　 ａ＜０ 在对称轴左侧ｙ随ｘ的增大而　增大　，在对称轴右侧ｙ随ｘ增大而　减小　 【温馨提示】（１）请根据上表形式，汇总整理下列二次函数的性质： ①ｙ＝ａｘ２＋ｃ；②ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２；③ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ． （２）一般式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与顶点式ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ之间的转化：将顶点式等号右 边按乘法公式展开，再合并同类项，即可得到一般式；将一般式等号右边用配方法配 平（或利用顶点坐标公式确定顶点）即可得到顶点式； （３）交点式ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）中，ｘ１，ｘ２是抛物线与ｘ轴两个交点的横坐标，此解 析式只适用于图象与ｘ轴有两个不同交点的二次函数． ７４ 一战成名·河南数学 ３．二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与ａ，ｂ，ｃ的关系 判断ａ时看开口 开口向上ａ　＞　０；开口向下ａ　＜　０； 判断 ｂ时先看 对称轴位置，再 看开口方向 对称轴在ｙ轴左侧－ｂ２ａ　＜　０ａｂ　＞　０； 对称轴是ｙ轴－ｂ２ａ　＝　０ａｂ　＝　０； 对称轴在ｙ轴右侧－ｂ２ａ　＞　０ａｂ　＜　０ 总结：左同右异 判断ｃ时看与 ｙ 轴交点 交点在ｙ轴正半轴ｃ　＞　０；交点在原点ｃ　＝　０； 交点在ｙ轴负半轴ｃ　＜　０ 判断ｂ２－４ａｃ时 看与 ｘ轴交点 个数 与ｘ轴有两个不同交点ｂ２－４ａｃ　＞　０； 与ｘ轴只有１个交点ｂ２－４ａｃ　＝　０； 与ｘ轴没有交点ｂ２－４ａｃ　＜　０ 判断 ２ａ＋ｂ或 ２ａ－ｂ时，看对 称轴与 ｘ＝１或 ｘ＝－１的关系 对称轴是直线ｘ＝１－ｂ２ａ　＝　１２ａ＋ｂ　＝　０； 对称轴是直线ｘ＝－１－ｂ２ａ　＝　－１２ａ－ｂ　＝　０ 判断与 ａ，ｂ，ｃ 有关的和差关 系式 判断ａ＋ｂ＋ｃ，需将ｘ＝　１　代入函数找ｙ值； 判断ａ－ｂ＋ｃ，需将ｘ＝　－１　代入函数找ｙ值； 判断４ａ＋２ｂ＋ｃ，需将ｘ＝　２　代入函数找ｙ值； 判断４ａ－２ｂ＋ｃ，需将ｘ＝　－２　代入函数找ｙ值 例１　已知二次函数ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋１，尝试探究该函数图象的性质，并完成下列问题． （１）列表：请将下表中ｘ与ｙ的对应值填在相应的横线上； ｘ … －１ ０ １ ２ ３ … ｙ … 　－２　 　１　 　２　 　１　 　－２　 … （２）描点：将（１）中表格内ｘ，ｙ对应值看成点（ｘ，ｙ），并描在如图所示的平面直角坐标系中； （３）画图：用平滑的曲线，将（２）中的点连起来，画出对应的函数图象； （４）根据图象写性质： ①图象的开口向　下　；对称轴是直线　ｘ＝１　；顶点坐标是　（１，２）　； ②最值：当ｘ＝　１　时，函数有最　大 　值，最值为　２　； ③若点（２．５，ｙ１），（４，ｙ２）在该函数图象上，则ｙ１与ｙ２的大小关系为　ｙ１＞ｙ２　； 若点（－２，ｙ３），（３，ｙ４）在该函数图象上，则ｙ３与ｙ４的大小关系为　ｙ３＜ｙ４　； ④该函数图象与ｘ轴有　２　个交点，交点的坐标为　（１－槡２，０）　； （５）若ｘ＞ｍ时，ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的取值范围是　ｍ≥１　． ８４ 一战成名·河南数学 【提示】∵函数图象开口向下，∴从对称轴的右侧任意位置起，ｙ随ｘ的增大而减小． 例１题图 　　　　　 例２题图