第2章 命题点4 一元二次方程及其解法(精讲册)-【一战成名】2023河南中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·河南数学 命题点４　一元二次方程及其解法 （近８年连续考查 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） ２０２２版课标要求 １．理解方程解的意义，经历估计方程解的过程； ２．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； ３．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个实数根是否相等； ４．了解一元二次方程的根与系数的关系． 要点归纳 １．一元二次方程：形如　ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）　的方程． 【温馨提示】一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０与方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的区别：一元二次方程ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ＝０ａ　≠０　；方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ａ为任意实数． ２．解一元二次方程的四种基本方法 （１）直接开平方法：适用于可化为ｘ２＝ｑ或（ｘ＋ｍ）２＝ｎ的方程． 基本步骤 注意事项 ①当ｑ≥０时，方程 ｘ２＝ｑ的根 是　ｘ１＝槡ｑ，ｘ２＝－槡ｑ　； ②当ｎ≥０时，方程（ｘ＋ｍ）２＝ｎ 的根是 　 ①方程两边同时开平方时，不要漏掉“负数”； ②当ｑ＜０或ｎ＜０时，方程无解； ③当ｑ＞０时，方程ｘ２＝ｑ的两个解互为相反数 （２）配方法：适用于所有一元二次方程． 基本步骤 注意事项 二次项系数不为１时先化为１→　常数项　全部移 到等号右边→配方（等号两边同时加上　一次项系 数一半的平方　）→开平方（根据等号右边数的正 负判断，参考直接开平方法） ①配方前，一定要观察二次项系数是否 为１； ②配成完全平方式要正确； ③两边开平方时，不要漏解 （３）因式分解法（常用“提公因式法”或“十字相乘法”将方程化为：等号右边为０，等号左边为 两个一次因式乘积的形式） 基本步骤 注意事项 需要转化时应将方程转化为（ｘ－ｎ）（ｘ－ｍ）＝ ０→令两个因式分别为 ０，即　ｘ－ｎ＝０　或 　ｘ－ｍ＝０　→得方程的解： 　． ①方程两边不能直接约去含未知数的公 因式； ②不是（ｘ－ｎ）（ｘ－ｍ）＝０的形式要先转化 ９１ 一战成名·河南数学 （４）公式法（适用于所有一元二次方程） 基本步骤 注意事项 不是一般形式的先化为一般形式，即　ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝）　 →确定Δ＝　ｂ２－４ａｃ　　　　的值，并和０比较→确定 方程的解：若Δ≥０，方程的解为 　； 若Δ＜０，则方程　无解　　　　　 ①没有化为一般形式，ａ，ｂ，ｃ容易 出现符号错误； ②公式法是解一元二次方程的万 能大法，但使用时应先判断方 程是否有根 ３．一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的判别式 判别式 ｂ２－４ａｃ＞０ ｂ２－４ａｃ＝０ ｂ２－４ａｃ　＜　０ 方程根的情况 有　两个不相等　的实数根 有　两个相等　的实数根 没有实数根 【特别提醒】若题目中出现“若方程…有两个…实根”或“若一元二次方程…”，则该方程中二 次项系数 ≠０． ４．一元二次方程的根与系数的关系 若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有两个实数根ｘ１，ｘ２，则有ｘ１＋ｘ２＝　　　　，ｘ１ｘ２＝　　　　． 随堂练习 １．已知关于ｘ的一元二次方程（ｍ＋２）ｘ２＋２ｘ－ｍ２＝０的一个解是ｘ＝２，则ｍ的值为　　　　． ２．用适当的方法解下列方程． （１）ｘ２－２ｘ－４＝０； 解：由原方程得ｘ２－２ｘ＝４， 则ｘ２－２ｘ＋１＝４＋１，即（ｘ－１）２＝５， ∴ｘ－１＝±槡５， ∴ｘ１＝１＋槡５，ｘ２＝１－槡５． （２）ｘ（ｘ－７）＝８（７－ｘ）． 解：由原方程得ｘ（ｘ－７）＋８（ｘ－７）＝０， ∴（ｘ－７）（ｘ＋８）＝０， ∴ｘ１＝７，ｘ２＝－８． ３．（人教九上Ｐ１４例３改编）一元二次方程ｘ（ｘ－２）＋ｘ－２＝０的根的情况是 （　Ａ　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．有两个不相等的实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．无法确定 ４．已知关于ｘ的方程ａｘ２－４ｘ＋１＝０． （１）若该方程有两个不相等的实数根，则ａ的取值范围是　ａ＜４且ａ≠０　； （２）若该方程有两个相等的实数根，则ａ的值为　ａ＝４　； （３）若该方程没有实数根，则ａ的取值范围是　ａ＞４　； （４）若该方程有两个实数根，则ａ的取值范围是　ａ≤４且ａ≠０　． 【变式训练】若关于ｘ的方程（ａ－２）ｘ２－４ｘ＋１＝０有实数根，则ａ满足的条件是　ａ≤６　． 请完成精练册Ｐ１５－Ｐ１６习题 ０２ 书 一战成名·河南数学 一战成名·《考前新方案》 数学·２０２３河南中考·参考答案 基 础 知 识 训 练 册 注：基础知识训练册参考答案见Ｐ１～Ｐ５，精练册参考答案及解析见Ｐ６～Ｐ４４，题