精品解析：北京市东城区2023届高三上学期期末考试数学试题

东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测 高三数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在下列函数中，为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，若第3项的系数为10，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 等比数列中，，，则（ ） A 8 B. 16 C. 32 D. 64 5. 北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为.若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为4，则的焦距为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，“对于任意，”是“为直角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，点是棱上的动点，下列说法中正确的是（ ） ①存在点，使得； ②存在点，使得； ③对于任意点，到的距离为定值； ④对于任意点，都不是锐角三角形. A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数满足，则______. 12. 已知函数，则______；若将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则的一个对称中心为______. 13. 经过抛物线焦点直线与抛物线交于不同的两点，，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则点的纵坐标与点的纵坐标的大小关系为______.（填“＞”“＜”或“＝”） 14. 设函数，当时，的值域为______；若的最小值为1，则的取值范围是______. 15. 对于数列，令，给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立； ④若对任意的，都有，则有. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且. （1）求； （2）求的周长. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. （1）求证：为的中点； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18. “双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立. （1）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率； （2）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望； （3）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为，，，请直接写出这三个数的大小关系.（样本中同组数据用区间的中点值替代） 19. 已知椭圆：（）的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，，分别为椭圆的左、右焦点. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上一点，.若，，成等差数列，求实数的范围. 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值； （3）证明：当时，曲线：与曲线：至多存一个交点. 21. 已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其. （1）设数列：1，1，0，0，写出的