作业2 利用空间向量求角-【精彩假期】2022-2023学年高二数学寒假作业word（浙江专用）

作业　利用空间向量求角一、选择题 1．已知a＝(0，1，1)，b＝(－2，2，0)，则向量a与b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．已知空间向量＝，平面α的一个法向量为n＝，则直线AB与平面α所成角θ为(　　) A． B． C． D． 3．已知二面角α­l­β，其中平面α的一个法向量m＝(1，0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1，1)，则二面角α­l­β的平面角大小可能为(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．135° 4．2022·金衢六校联盟高二化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如上图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点).则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 5．在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D是BC的中点，2PA＝PB，∠APC ＝30°，则PD与平面ABC所成的角θ为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 6．如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为 (　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 7．如图，在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BD­A1的余弦值为(　　) A． B． C． D． 9．【多选题】2022·浙江S9联盟高二如图，三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°，∠AA1B1为锐角，且侧面ABB1A1⊥底面ABC，下列四个结论中正确的是(　　) A．∠ABB1＝60° B．AC⊥BB1 C．直线AC1与平面ABB1A1所成的角为45° D．B1C⊥AC1 10．【多选题】2022·嘉兴一中如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝，AB＝2，点P，E分别为AB，AA1的中点，点M为直线CD1上的动点，点N为直线C1D1上的动点，则(　　) A．对任意的点N，一定存在点M，使得PM⊥DN B．向量，A1B，D1E共面 C．异面直线PM和AA1所成角的最小值为 D．存在点M，使得直线PM与平面DCC1D1所成角为 二、填空题 11．已知棱长为1的正四面体ABCD，O为A在底面BCD上的正射影，建立空间直角坐标系，如图，M为线段AB的中点，则M点的坐标是________________，异面直线DM与OB所成角θ的正弦值是__________． 12．2022·杭州学军中学高二已知空间直角坐标系xOy中，过点P且一个法向量为n＝的平面α的方程为a＋b＋c＝0.用以上知识解决下面的问题：已知平面α的方程为x－2y＋2z＋1＝0，直线l是两个平面x－y＋2＝0与2x－z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 13．2022·诸葛海亮高级中学高二已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的直径，SA＝AB，M为SA的中点．设直线MC与平面SAB所成角为α，则sin α的最大值为________． 三、解答题 14．2022·浙师大附中高二如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； (2)若△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为3的正方形,E是PA的中点,求直线BE与平面PCD所成角的正弦值. 15．2022·新高考全国Ⅱ卷如图，PO是三棱锥P­ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点． (1)证明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C­AE­B的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业2　利用空间向量求角 1．C　【解析】 因为a·b＝2，|a|＝，|b|＝2，所以cos 〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝60°. 2．A　【解析】 由题意，根据空间向量的夹角公式，可得sin θ＝＝，∴θ＝，即直线AB与平面α所成角θ为. 3．C　【解析】 ∵m＝，n＝(0，－1，1)，设平面α与平面β的夹角为