2.1.2圆的一般方程 课件——2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

2.1.2 圆的一般方程 2.圆的标准方程: 特点： 直接可以看出圆心坐标为 半径为 温故知新 1.圆的定义: 平面内到定点的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆． 其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径． 思考:下列方程表示什么图形? 以(1, -2)为圆心,2为半径的圆. 不表示任何图形. 以(1, 2)为圆心,2为半径的圆. 圆的标准方程 圆的一般方程： x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得 - 2 2 2 2 2 2 0 2 = - + + - + r b a by ax y x 由于a, b, r均为常数 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手 问题：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0的方程是否都表示圆呢？ 圆的一般方程： x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0) ②没有xy这样的二次项． (2)特点： ①x2与y2系数相同，并且不等于0； 数学应用 例1：判断下列方程是否表示圆？ 以(0,-b)为圆心,以 为半径的圆 表示点（2，3） 不表示任何图形 7 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于 2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是 练习 例2：求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 几何方法 方法一： y x M1(1,1) M2(4,2) 0 圆的一般方程的应用： 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上 （4-a）2+（2-b）2=r2 ï ï ì í î （a）2+（b）2=r2 （1-a）2+（1-b）2=r2 解：设所求圆的标准方程为： （x-a）2+（y-b）2=r2 待定系数法 方法二： 所求圆的方程为： 即（x-4）2+（y+3）2=25 ï ï ì í î a=4 b=-3 r=5 解得 例2： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 例2： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 解：设所求圆的一般方程为： 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则 ï ï ì í î F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 所求圆的方程为: x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25 待定系数法 方法三： ï ï ì í î F=0 D=-8 E=6 解得 练习： 把点A，B，C的坐标代入得方程组 所求圆的方程为： 待定系数法 列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组 解出a，b，r（或D，E，F），代入标准方程（或一般方程） 总结求圆方程的方法： 数学应用 例3：已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？ 解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直 径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系（如右图） 将x=2.7代入,得 ＜3 那么半圆的方程为 即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度. 因此，货车不能驶入这个隧道. 14 练习： 15 例4. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 拓展 y x . O . . （-1，0） A(3,0) M(x,y) 直译法 总结：求圆的方程常用方法及解题步骤： 几何方法 求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线） 求半径 （圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程 待定系数法 列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组 解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程） 课堂总结，布置作业 1.作业设计：教材Ｐ61-62 ：习题2.11-15题 2.预习任务：自主学习Ｐ63-Ｐ65直线与圆的位置关系 谢谢光临，再见！ $