热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数10大题型-2023年高考数学【热点•重点•难点】专练（新高考专用）

热点2-3 指数函数、对数函数与幂函数10大题型 指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 一、指数幂运算的一般原则 1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算； 2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； 3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数； 4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 二、对数运算常用方法技巧 1、对数混合运算的一般原则 （1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； （3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； （4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； （5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。 2、对数运算中的几个运算技巧 （1）的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； （2）的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； （3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式作为已知条件，求函数的值的问题，通常设，则，，，将值带入函数求解。 三、指数型复合函数值域的求法 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围 2、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域。 四、对数型复合函数值域的求法 1、形如（，且）的函数求值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域。 2、形如（，且）的函数的值域 换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域。 【题型1 指数幂与对数式化简求值】 【例1】（2022·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）若，，则______． 【变式1-1】（2022秋·宁夏·高三六盘山高级中学校考阶段练习）计算：______. 【变式1-2】（2022秋·河南商丘·高三校联考阶段练习）若函数（，且），则（ ） A．1010 B．1011 C．2022 D．2023 【变式1-3】（2022秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为______. 【变式1-4】（2022秋·宁夏银川·高三校考期中）计算化简： （1）； （2）； （3）. 【变式1-5】（2022秋·陕西西安·高三校考期中）化简求值： （1）； （2）． 【题型2 指对幂函数的定义与解析式】 【例2】（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（ ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）函数是以a为底数的对数函数，则等于 A．3 B． C． D． 【变式2-2】（2022秋·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ） A． B．或 C． D． 【变式2-3】（2022·上海崇明·统考一模）若对数函数且）的图象经过点，则实数______. 【变式2-4】（2022秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考期中）若幂函数的图像过点，则______. 【题型3 指对幂函数的图象问题】 【例3】（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数，则函数的图像不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】（2022·上海长宁·统考一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（ ） A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③② 【变式3-3】（2022秋·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）已知幂