5.3导数的应用（分层练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

5.3导数的应用（分层练习） 【夯实基础】 一、单选题 1．（2022春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为， B．的极大值点为 C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为 2．（2023·上海·高三专题练习）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2022春·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）如图是函数的导函数的图象： ①函数在区间上严格递减；    ②； ③函数在处取极大值；      ④函数在区间内有两个极小值点． 则上述说法正确的是______． 4．（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________. 5．（2022春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）已知函数，，若存在三个互不相等的实数m、n、p，使得，则实数a的取值范围是______． 6．（2022春·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）函数的驻点为___________. 7．（2022春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）已知函数，其导函数的图像经过点、.如图，则下列说法正确的是______ ①当时，函数取得最小值； ②有两个极值点; ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值； 三、解答题 8．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）已知函数且. (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求函数零点的个数. 9．（2023·上海·高三专题练习）设，函数. (1)若函数为奇函数，求实数a的值； (2)若函数在处取得极小值，求实数a的值. 10．（2023·上海·高三专题练习）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数和的值； (2)讨论函数的单调性； 【能力提升】 一、填空题 1．（2023·上海·高三专题练习）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______． 2．（2023·上海·高三专题练习）定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为_________． 二、解答题 3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数． (1)定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，求实数a的值； (2)若，证明：． 4．（2023·上海·高三专题练习）已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点,处的切线与轴平行． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)设，其中为的导函数．证明：对任意，． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3导数的应用（分层练习） 【夯实基础】 一、单选题 1．（2022春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的极小值点为， B．的极大值点为 C．有唯一的极小值 D．函数在上的极值点的个数为 【答案】D 【分析】根据图象直接判断即可. 【详解】由图像可知，的极小值点为，极大值点为，故A，B选项错误； ，为的极小值点，故C错误； 由极值点的概念知函数在上的极值点是，，个数为2，D正确； 故选：D. 2．（2023·上海·高三专题练习）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案. 【详解】容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D. 对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数. 故选：B. 二、填空题 3．（2022春·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）如图是函数的导函数的图象： ①函数在区间上严格递减；    ②； ③函数在处取极大值；      ④函数在区间内有两个极小值点． 则上述说法正确的是______． 【答案】②④ 【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案. 【详解】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故，故①错误，②正确； 由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误； 由导函数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，在和上导函数大于0， 故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确. 故答案为：②④ 4．（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的