[中学联盟]江苏省射阳县盘湾中学高中数学选修2-2课件：11 导数的概念（4份）

导数的概念 1.1.2.瞬时变化率------导数 盘湾中学高二数学备课组 相切 相交 P(x,f(x)) Q(x+△x,f(x+△x)) 问题1：如何求切线的斜率？ 当Δx无限趋于0的时，KPQ无限趋于点P处的切线斜率 问题2：设物体作直线运动所经过的路程为y=S(t).求当t=t0时的瞬时速度？ 说明：瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率 知识生成： 以t0为起始时刻，物体在[t0,t0+t]时间内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率 无限趋近于一个常数， 那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度 问题3：设物体作直线运动所经过的速度为y=V(t).求当t=t0时的瞬时加速度？ 以t0为起始时刻，物体在[t0,t0+t]时间内的平均加速度为 说明：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 当Δt无限趋近于0时，运动物体速度V(t)的平均变化率 无限趋近于一个常数， 那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度 问题4：设函数y=f(x)在区间（a,b）上有定义， 求x=x0时的瞬时变化率 求切线斜率的步骤： 1.求定点P（x0,f(x0)） 2.设动点Q(x0+△x,f(x0+△x)) 3.求出割线PQ斜率: 4.当△x无限趋近于0时， 割线斜率PQ趋近常数A 5.常数A就是切线斜率 求瞬时速度的步骤: 1.求位移的改变量 2.求位移的平均变化率 3.当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于常数A 4.当t=t0时物体的瞬时速度为A 求瞬 1.求速度的改变量 时加 2.求速度的平均变化率 速度 的 3.当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于常数A 步骤:4.当t=t0时物体的瞬时速度为A 注：①Δx表示自变量x的改变量;Δy表示相应函数y的改变量， ②符号“→”表示“无限趋近于” 知识生成： 问题4：设函数y=f(x)在区间（a,b）上有定义， 求x=x0时的瞬时变化率(导数) 若Δx无限趋近于0，比值 无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作： 符号表示： 当Δx→0时， 典型例题： 例1：已知 ，求f(x)在x=1处的导数 解： 典型例题： 例1：已知 ，求f(x)在x=1处的导数 变式1：求f(x)在x=a处的导数 1.求差：Δy 3.逼近： 4.说明： 求导数的步骤： 2.求商： 及时训练1：求下列函数在x=x0处的导数 2.导数 的几何意义： P x0 知识生成： 曲线y=f(x)在点 处的切线的斜率，如下图 典型例题： 例1：已知 ，求f(x)在x=1处的导数 变式2：求f(x)在x=1处的切线方程 小结：求切线方程的步骤： (1)求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率； (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即 及时训练2：已知函数y=f(x)的图像在点M（1，f(1))处的切线方程是 ,求 ②瞬时速度是运动物体的位移S(t)关于时间t的导数，即 ③瞬时加速度是运动物体的速度V(t)关于时间t的导数，即 知识生成： 3.若函数 y=f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因此也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作 注：①在不引起混淆时，导函数 也简称为f(x)的导数 知识生成： 问题5：f(1)与 的含义有何不同？ 问题6： 与 的含义有何不同？ 在 处的导数 就是导函数 在 处的函数值 及时训练3：质点的运动方程为S=3t+1,分别求t=1,2时的速度 课堂小结： 口诀：一差；二商；三逼近 ①.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 ②.要切实掌握求导数的三个步骤： (1)求函数的增量；(2)算平均变化率；(3)找逼近,得导数。 课堂小结： ③.弄清“函数f(x)在x=x0处的导数”、