2023年湖北省中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年湖北省中考数学 高频压轴题突破————二次函数与相似三角形 1.如图,在平面直角坐标系内,抛物线与x轴交于点A、点B,与y轴交于点C,且.过点A的直线与抛物线交于点E.点P为第四象限内抛物线上的一个动点,过点P作于点H. (1)抛物线的表达式中,_,_; (2)在点P的运动过程中,若取得最大值,求这个最大值和点P的坐标; (3)在(2)的条件下,在x轴上求点Q,使以A,P,Q为顶点的三角形与相似. 2.如图,抛物线与x轴交于A和B两点(点B位于点A右侧),与y轴交于点C,对称轴是直线x=2,且OA=1,OC=3,连接AC,BC. (1)求此抛物线的函数解析式; (2)设抛物线的顶点为点P,请在x轴上找到一个点D,使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似? (3)此抛物线的对称轴和以AC为直径的圆是什么位置关系?如果是相切或相交,请直接写出切点或交点的坐标(不必写演推过程);如果是相离,请简要说明理由. 3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.若线段的长满足,则这样的抛物线称为“黄金”抛物线,如图,抛物线为“黄金”抛物线,其与x轴交点为A,B(其中B在A的右侧),与y轴交于点C.且; (1)求抛物线的解析式; (2)若P为上方抛物线上的动点,过点P作,垂足为D. ①连接,当时,求点P的坐标. ②求的最大值. 4.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,连接AD、CD、AC、BC. (1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标; (2)求证:△ACD是直角三角形; (3)判断∠ACB和∠OAD的数量关系,并说明理由; (4)如图2,点F是线段AD上一个动点,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?若相似,请直接写出点F的坐标;若不相似,请说明理由. 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.若线段的长满足,则这样的抛物线称为“黄金”抛物线.如图,抛物线为“黄金”抛物线,其与x轴交点为A,B(其中B在A的右侧),与y轴交于点C.且 (1)求抛物线的解析式; (2)若P为上方抛物线上的动点,过点P作,垂足为D. ①求的最大值; ②连接,当与相似时,求点P的坐标. 6.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与x轴交于点A、B两点,其中,与y轴交于点. (1)求抛物线解析式; (2)如图1,过点B作x轴垂线,在该垂线上取点P,使得△PBC与△ABC相似,请求出点P坐标; (3)如图2,在线段OB上取一点M,连接CM,请求出最小值. 7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的图象与轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,﹣3),连接AC、BC. (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图1,点D是抛物线上位于第四象限内的一点,连接AD,点E是AD的中点,连接BE、CE,求△BCE面积的最小值; (3)如图2,点P是抛物线上位于第四象限内的一点,点Q在y轴上,∠PBQ=∠OBC,是否存在这样的点P、Q使BP=BQ,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 8.如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过原点,且与直线y=﹣kx+6交于则A(6,3)、B(﹣4,8)两点. (1)求直线和抛物线的解析式; (2)点P在抛物线上,解决下列问题: ①在直线AB下方的抛物线上求点P,使得△PAB的面积等于20; ②连接OA,OB,OP,作PC⊥x轴于点C,若△POC和△ABO相似,请直接写出点P的坐标. 9.如图1,抛物线与轴交于, 两点,与轴交于点,且,连接. (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,抛物线的顶点为,其对称轴与线段交于点,求线段的长度; (3)如图3,垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点,连接, ,抛物线上是否存在点,使∽,如果存在,求出点 的坐标,如果不存在,请说明理由. 10.如图1,在菱形OABC中,已知OA=2,∠AOC=60°,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过O,C,B三点. (1)求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式. (2)如图2,点E是AC的中点,点F是AB的中点,直线AG垂直BC于点G,点P在直线AG上. ①当OP+PC的值最小时,求出点P的坐标; ②在①的条件下,连接PE、PF、EF得,问在抛物线上是否存在点M,使得以M,B,C为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 11.如图,将抛物线平移后,新抛物线经过原抛物线的顶点,新抛物线与轴正半轴交于点,联结,,设新抛物线与轴的另一交点是,新抛物线的顶点是. (1)求点的